在Matlab中仅计算矩阵乘积的对角线。

Question

有没有一种在Matlab中高效计算三个（或更多）矩阵乘积对角线的方法？具体而言，我想要：

diag(A'*B*A)

当A和B都很大时，可能需要很长时间。如果只有两个矩阵：

diag(B*A)

那我可以快速地这样做：

sum(B.*A',2)

现在我要计算三个矩阵的对角线，方法如下：

C = B*A;
ans = sum(A'.*C',2);

这很有帮助，但第一步操作（C = B*A）仍然需要很长时间。整个过程必须多次重复，导致我的代码运行需要几周的时间。例如，B大约是15k x 15k，A大约是32k x 15k。而且没有稀疏性。

- user3682146

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有那么大且不稀疏的矩阵...我认为你是没有解决办法了。 - rayryeng

你的意思是A大约是15k x 32k，对吧？;-) - matheburg

看起来你无法避免进行完整的乘法运算（在你的代码中是C），因为为了进行第二次乘法运算，需要使用C中的所有元素。 - Luis Mendo

是的，我的意思是A是15k x 32k。感谢您发现了这个错误。 - user3682146

Answer 1

首先，欢迎！老实说，这似乎有点困难。稍微改变一下至少能略微提高速度：

N = 5000;
A = rand(N,N*2);
B = rand(N,N);

t = cputime;
diag(A'*B*A);
disp(['Elapsed cputime ' num2str(cputime-t)]);

t=cputime;
C = B*A;
sum(A'.*C',2);
disp(['Elapsed cputime ' num2str(cputime-t)]);

% slightly better...
t=cputime;
C = B*A;
sum(A.*C)';
disp(['Elapsed cputime ' num2str(cputime-t)]);

% slightly better than slightly better...
t=cputime;
sum(A.*(B*A))';
disp(['Elapsed cputime ' num2str(cputime-t)]);

结果：

Elapsed cputime 82.2593
Elapsed cputime 28.6106
Elapsed cputime 25.8338
Elapsed cputime 25.7714

- matheburg