如何从单独的组件创建2D透视变换矩阵？

Question

我正在尝试从翻译、旋转、缩放、剪切等单个组件创建2D透视变换矩阵。但最终矩阵不能产生像下面的图像那样真正的透视效果。我认为我在编写创建矩阵的代码时漏掉了一些组件。有人能帮助我添加缺失的组件及其公式到下面的函数吗？我已经在我的代码中使用了OpenCV库。

cv::Mat getPerspMatrix2D( double rz, double s, double tx, double ty ,double shx, double shy)
{

cv::Mat R = (cv::Mat_<double>(3,3) <<
        cos(rz), -sin(rz), 0,
        sin(rz), cos(rz), 0,
        0, 0, 1);

cv::Mat S = (cv::Mat_<double>(3,3) <<
        s, 0, 0,
        0, s, 0,
        0, 0, 1);


cv::Mat Sh = (cv::Mat_<double>(3,3) <<
        1, shx, 0,
        shy, 1, 0,
        0, 0, 1);


cv::Mat T = (cv::Mat_<double>(3,3) <<
        1, 0, tx,
        0, 1, ty,
        0, 0, 1);

return T * Sh * S * R;
}

- Vinmean

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请查看：https://docs.opencv.org/3.4.0/da/d6e/tutorial_py_geometric_transformations.html - John_Sharp1318

这个链接展示了如何从点对中推导出透视变换。我想要操作透视变换的不同组成部分。目前我有旋转、平移、缩放、剪切作为变换组成部分。还有其他负责透视变换的组成部分吗？ - Vinmean

Answer 1

关键词是Homography和8DOF。从1和2中获取透视变换的两个系数。但需要第二步计算。我不熟悉OpenCV，但希望以基本方式稍晚回答您的问题 ;-)

步骤1

您可以想象lx描述了x轴上的消失点。图像显示a31=lx=1。lx=100的变换较小。对于lx=0，位置无限远，意味着没有透视变换=单位矩阵。

     [1  0  0] 
PL = [0  1  0] 
     [lx ly 1]

lx/ly are perspective foreshortening parameters

第二步

当您应用右手矩阵乘法 P x [u; v; 1] 时，您会发现结果中的最后一个值有时不是1。对于仿射变换始终为1，对于透视投影则不是。在第二步中，将结果缩放以使最后一个系数为1，这是效果的一部分。

您的示例图像

 Image' = P4 x P3 x P2 x P1 x Image

1. 我会将蓝色矩形的中心翻译为原点 tx=-w/2 和 ty=-h/2 = P1。
2. 使用投影映射 ly = h（使两侧呈角度）。
3. 最终将所有点平移回一个象限。
4. 最终按所需大小进行缩放。

透视投影的第2步可以在2.)之后或最后完成。

- r2d2