如何使用sympy简化包含复数常量的表达式？

Question

我已经在sympy中进行了一些计算，最终得出的结果是一组常数。其中一个直接插入到下面的片段中：

from sympy import *
expr = (18**(Rational(1, 3))/(6*(3 + sqrt(3)*I)**(Rational(1, 3)))
        + 12**(Rational(1, 3))*(3 + sqrt(3)*I)**(Rational(1, 3))/12)
print(expr.evalf())
print(expr.simplify())

这将返回：

这将返回

0.56857902130163 + 0.e-22*I
18**(1/3)/(6*(3 + sqrt(3)*I)**(1/3)) + (36 + 12*sqrt(3)*I)**(1/3)/12

因此，该表达式似乎是一个实数，但是sympy无法进一步简化它。用纸笔计算，我将其简化为

cos(pi/18) / sqrt(3)

这与evalf()返回的数值相符。

我尝试了许多不同的简化函数，但似乎没有一种能够进一步简化表达式。使用类似于

expr.subs(3 + sqrt(3)*I, sqrt(12) * exp(I*pi/6))

这句话的意思是Sympy在推导过程中表达式已经变得更好了，但仍然不能确定其是否为实数。可以尝试使用欧拉公式进行替换。

expr.subs(3 + sqrt(3)*I, sqrt(12) * (cos(pi/6) + I*sin(pi/6)))

sympy 终于能够得出结论，表达式是真实的，但是当我尝试 simplify 替换后，表达式本身在打印时会爆炸式增长。

有没有更好的方法来尝试减少这种情况？我有许多类似的复杂常数表达式，我想确定它们是否为真实的（或不是）。

- josteinb

Answer 1

方法as_real_imag通常有助于简化复数，即使它没有列在简化方法中。在您的示例中，

expr.as_real_imag()

返回结果为 (sqrt(3)*cos(pi/18)/3, 0)

如果需要一个复数（而不是上面的元组），那么就不应该只在这个元组上调用complex，因为这会创建一个Python complex类的对象，涉及数字评估。相反，我会这样写

pair = expr.as_real_imag()
result = pair[0] + pair[1]*I

- user6655984

Answer 2

针对您提供的表达式，需运行以下命令：

(expr.conjugate().conjugate() - expr.conjugate()).simplify()

返回 0，表示 expr 是实数。（共轭运算两次会返回原始值，但在此过程中它会被展开，从而使后续简化成为可能。）一般来说，上述公式返回虚部乘以2i。

要找到表达式的实部，您可以使用类似的技巧：将其与其共轭相加并简化（然后除以2）：

((expr.conjugate().conjugate()+expr.conjugate())/2).simplify()

返回值为 sqrt(3)*cos(pi/18)/3。

- user3717023

---

这对于我举的例子表达式效果很好。更简单的方法是expr.conjugate().conjugate().simplify().trigsimp()，它可以直接输出结果。然而，对于更复杂的表达式，这种共轭方法并不是很有效，但仍然有用。 - josteinb