如何连接曲线的两个部分并获取连接曲线的点位置？

Question

我有两段曲线。曲线上的点位置（x，y）已知。如何连接它们并获得连接曲线的位置？这里有一个类似的问题。similar question 他说要使用贝塞尔曲线。但是在我看来，通常拟合曲线不会经过控制点。因此，如果我从两段曲线中选择一些点作为控制点，则拟合结果可能如下图所示。那不是我的目标。有人能给我一些建议吗？

- kookoo121

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然后使用提出的替代方案——样条插值 :)，因为曲线经过这些点。 - Humam Helfawi

或者说Catmull-Rom曲线，它们也穿过点，并且可以轻松地重写为三次贝塞尔形式。这个问题几乎就是它们被发明的原因 =) - Mike 'Pomax' Kamermans

Answer 1

使用Catmull-Rom曲线，它与Bezier曲线相关且易于转换为Bezier形式，其好处是可以“穿过”点，而不仅仅是由它们控制。有关详细信息，请参见http://pomax.github.io/bezierinfo/#catmullconv，但我们基本上只需要这两个端点和曲线外的两个点，以确保我们在两个曲线上的点上具有正确的切线。

p2和p3是"你的"点，而p1和p4则是相对任意的：我们只需要确保线段p1-p3与p2处的切线平行（切线及其平行线用蓝紫色表示），同样地，线段p2-p4也要与p3处的切线平行（切线及其平行线用粉红色表示）。一个通常较为简单的方法就是将点p2和p3投影到这些平行线上project points p2 and p3 onto the parallel lines。

只要我们确保了这一点，我们就可以将连接线段形成为Catmull-Rom曲线，其曲线坐标为(p1,p2,p3,p4)。如果没有Catmull-Rom绘图原语，我们也可以将其作为贝塞尔曲线来轻松绘制，方法是使用以下三次贝塞尔曲线坐标：

1. 起始点：p2
2. 控制点1：p2 + (p3-p1)/(6*t)
3. 控制点2：p3 - (p4-p2)/(6*t)
4. 结束点：p3

这里的t值是Catmull-Rom曲线的张力；您将其设置得越高，连接看起来就越“紧密”（在大多数支持Catmull-Rom的图形上下文中，默认张力为1）。

一些示例值：

请注意，每个示例中在点p2和p3处的切线方向保持不变，但是切线向量的长度不同，导致拟合结果紧密、好、或者过于松散。

- Mike 'Pomax' Kamermans

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我可以问两个问题吗？1.为什么起始/结束点p1，p4在平行线上？我能否使用曲线上的点作为起始/结束和控制点，因为我知道曲线上所有点的位置。2.我在这里找到了方程式2 http://www.mvps.org/directx/articles/catmull/，但我想使用更多的控制点使其更准确。你能给我展示一下通用方程式吗？例如，我想使用10个控制点。 - kookoo121

1：在答案和给出的链接中已经解释了（您需要保留由线p1-p3控制的点p2处的切线，以及由线p2-p4控制的点p3处的切线）。 2：不需要。通过添加“更多控制点”并不能使Catmull-Rom曲线“更精确”。 - Mike 'Pomax' Kamermans

非常感谢。1.但我找不到关于为什么需要保留由线p1-p3控制的点p2处的切线以及p3的解释。2.您的意思是Catmull-Rom曲线只能使用一个或两个控制点吗？对于提出太多问题，我很抱歉。 - kookoo121

如果您想要一个平滑的连接段，需要保留通过P2和P3的曲线方向。否则会出现折痕。在Catmull-Rom曲线中，曲线上点的切线始终与其前面的点到其后面的点的连线平行，因此需要将P1和P3的位置匹配。由于您已经有了P3，因此我们需要放置P1，使得p1--p3线段与p2处的切线平行（对于P3也是如此，使用p2和p4点）。请参见http://pomax.github.io/bezierinfo/#catmullconv。 - Mike 'Pomax' Kamermans

Answer 2

正如我在评论中提到的，样条曲线可能比贝塞尔曲线在这种情况下更好。然而，您也可以使用更简单的方法。您有4个点（红色）。尝试使用以下公式将它们拟合为多项式（3次方程，因为您只有4个点）：

A x^3 + B x^2 + C x + D = y

您有4个点数 (P0,P1,P2,P3):

A x0^3 + B x0^2 + C x0 + D = y0
A x1^3 + B x1^2 + C x1 + D = y1
A x2^3 + B x2^2 + C x2 + D = y2
A x3^3 + B x3^2 + C x3 + D = y3

解决这个线性方程组将给出A,B,C,D的值。

要获取缺失的曲线部分：

for(auto x=P1.x; x<P2.x; ++x){
    auto y=A*x*x*x + B*x*x + C*x + D;
    cv::circle(image,cv::Point(x,y),.......);
}

- Humam Helfawi

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感谢您的评论。但我认为将表达曲线表示为y=A x^3 + B x^2 + C x + D并不是很好，因为形状会旋转。 http://www.mathopenref.com/cubicexplorer.html - kookoo121

你展示了你只有4个点，所以没有其他选项可用... 你还有更多吗？ - Humam Helfawi

@曲线上所有点的位置都已知。我们可以使用每个点。我只是从中选择了四个。 - kookoo121

然后，您可以将多项式的次数增加到4或5或任何其他次数，因为您有另外的点可以添加到方程中。 - Humam Helfawi

Answer 3

不要排除贝塞尔曲线。你是对的，这条曲线通常不会与控制点相交，但是端点会相交，你可以利用这一点来约束曲线的形状。

更具体地说，你可以通过构建一个新的二次贝塞尔曲线来连接这两条线 - 使用你两条线的端点作为曲线的端点，并以两条当前线段的端点延长线相交的中点作为曲线的中点。

在上面的例子中，红色圆圈是曲线的固定端点，绿色线是延长线，蓝色圆圈是它们的交点（用作控制点），而蓝色线是你最终得到的近似曲线。

编辑：经过进一步思考，你可能想要使用立方曲线，并在每条绿线上有两个蓝色控制点。将每个控制点定位在离端点距离L/2的位置，其中L是红色端点之间的直线距离，可能会产生良好的结果。二次曲线的问题在于，当绿线接近平行时，二次曲线在控制点附近会出现一个尖角。在平行情况下，它们实际上并不相交。使用立方曲线将产生一条更圆滑的线，并且没有与平行切线相关的任何问题。例如，在下面的图像中，顶部曲线使用二次曲线（一个控制点），底部曲线使用立方曲线（两个控制点）。

- MooseBoys

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谢谢您的评论。您能给我展示一下如何获取扩展行的更多细节吗？ - kookoo121

@kookoo121 这取决于您的原始线条如何定义，但假设它们是参数化定义的，您应该能够推导出端点处的切向量，然后使用正常的线-线交点方程式。例如，如果您的两条原始线是它们自己的贝塞尔曲线，则从最后一个控制点到端点的向量就是切向量。 - MooseBoys

非常感谢。我会尝试的。 - kookoo121