在Matlab中，给定协方差矩阵，生成高斯随机变量

Question

给定一个大小为 M x M 的协方差矩阵 R 和样本向量数量 N，在普通的MATLAB中（即不能使用r = mvnrnd(MU,SIGMA,cases)），计算一个大小为 N x M 的高斯随机向量 X。不太确定如何处理，通常需要具有协方差和均值才能生成高斯随机变量。我认为sqrtm和chol可能会有用。

- Elpezmuerto

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好的，只需对 R 进行 Cholesky 分解，然后预乘以一个独立同分布的（即 randn）矩阵即可。 - Oliver Charlesworth

补充@OliCharlesworth的评论：http://www.sitmo.com/article/generating-correlated-random-numbers/ - Luis Mendo

@LuisMendo，我认为在使用特征向量分解进行计算时存在错误，但“chol”转换看起来不错。 - Elpezmuerto

请注意，相关矩阵≠协方差矩阵。相关矩阵是归一化的协方差矩阵。如果您使用chol，请确保您正在使用相关矩阵。否则，更一般的情况下可以使用cholcov。 - horchler

Answer 1

如果您可以访问MATLAB统计工具箱，您可以在MATLAB中键入edit mvnrnd来查看他们的解决方案。

[T p] = chol(sigma);
if m1 == c
  mu = mu';
end
mu = mu(ones(cases,1),:);
r = randn(cases,c) * T + mu;

我觉得这样说几乎是作弊，但编辑MATLAB源代码非常有用，可以帮助我们更好地理解问题。如果你没有工具箱，也可以在谷歌上搜索mvnrnd.m。

- Steve

Answer 2

例子：

% Gaussian mean and covariance
d = 2;             % number of dimensions
mu = rand(1,d);
sigma = rand(d,d); sigma = sigma*sigma';

% generate 100 samples from above distribution
num = 100;
X = mvnrnd(mu, sigma, num);

% plot samples (only for 2D case)
scatter(X(:,1), X(:,2), 'filled'), hold on
ezcontour(@(x,y) mvnpdf([x y], mu, sigma), xlim(), ylim())
title('X~N(\mu,\sigma)')
xlabel('X_1'), ylabel('X_2')

上述代码使用了统计工具箱中的函数（mvnrnd和mvnpdf）。如果您无法访问该工具箱，请考虑使用以下替代方案（使用其他人提到的相同概念）：

mvnrnd = @(mu,S,num) bsxfun(@plus, randn(num,numel(mu))*cholcov(S), mu);

mvnpdf = @(x,mu,S) exp(-0.5*(x-mu)*(S\(x-mu)')) / sqrt((2*pi)^d*det(S));

- Amro

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有趣的内容：http://blogs.sas.com/content/iml/2012/02/08/use-the-cholesky-transformation-to-correlate-and-uncorrelate-variables/ - Amro