Mathematica中反三角函数的定义域

Question

假设所有数字都是实数。我试图在Mathematica中获取在一个区间内ArcSin的所有值。特别地，在Mathematica中ArcSin的正常行为是：当x在[-1,1]区间内且为实数时，ArcSin[x]在[-Pi/2,Pi/2]区间内。

然而，我需要获取在[0,2 Pi]区间中每个以上x的所有角度。是否有方法可以实现这一点？

- Dror

Answer 1

Leonid's answer 中隐含着公式。

In[1]:= Reduce[Sin[x] == y, x]
Out[1]= (x == ArcSin[y] + 2*Pi*C[1] || x == Pi - ArcSin[y] + 2*Pi*C[1]) && Element[C[1], Integers]

从以上两个无限解的家族中，您可以找到满足给定 y 值和可接受范围内的 x 值的角度（请参见Leonid的答案，每次调用它时，都会生成上述内容以及额外的条件start < = x < = end，并输出x 的所有解决方案。）

在范围[0, Pi)内的x值的显式公式为

In[2]:= Reduce[Sin[x] == y && 0 <= x < 2 Pi, x]

Out[2]=    (y == -1 && x == (3 Pi)/2) 
        || (y == 1 &&  x == Pi/2) 
        || (-1 < y < 1 && x == Pi - ArcSin[y]) 
        || (-1 < y < 0 && x == ArcSin[y] + 2 Pi) 
        || (0 <= y < 1 && x == ArcSin[y])

请注意，前两行是边界值，中间一行取自上述无限解的一个家族，最后两行合在一起来自另一个解的家族。这与Leonid的评论相符：

对于正的Sin值（如输入x），你有ArcSin[x]和Pi-ArcSin[x]，而对于负的x值，你有Pi-ArcSin[x]和2 Pi+ArcSin[x]。

上述公式假定ArcSin的主值。

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主值

在任何2 pi周期内，对于给定的y，Sin[x] == y有两个解。这可以从Sin[x]的图表中看出（它是2 pi周期性的）。

为了拥有唯一的反函数x = ArcSin[y]，你需要选择你想要的特定解决方案（在两个无限家族中）。 Mathematica 选择标准范围-Pi/2 < x < Pi/2。 这种选择是（按照惯例）反三角函数的主值。

- Simon

Answer 2

您可以尝试以下方式：

您可以尝试以下方法：

Clear[getAngles];
getAngles[x_, interval : {start_, end_} : {0, 2 Pi}] :=
Module[{y},
  Quiet@Cases[
     Reduce[#, y] & /@ 
       LogicalExpand[
         Reduce[Reduce[Sin[y] == x, y] && start <= y < end, y]], (y == 
     yrhs_?NumericQ) :> yrhs, {2}]]

例如：

In[90]:= getAngles[0.7]

Out[90]= {0.775397, 2.3662}

In[92]:= {#, Sin[#]} & /@ getAngles[0.7, {0, 4 Pi}]

Out[92]= {{0.775397, 0.7}, {2.3662, 0.7}, {7.05858, 0.7}, {8.64938, 0.7}}

- Leonid Shifrin

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@Simon 当然，我本可以使用分析公式。我想这反映了我最近几年从物理学家转变为程序员的过程。 - Leonid Shifrin

好的，我认为你比我更好地理解了OP的问题。显然，只需返回所有满足y=Sin[x]值相同的x值，其中0<=x<=2Pi。 - Sjoerd C. de Vries

@Sjoerd 嗯，据我所理解，OP更关心角度本身而不是你获取它们的特定方式，使用ArcSin（正如您所指出的那样是不可能的）或其他东西。正如@Simon所指出的那样，我的方法过于复杂，因为存在一个简单的解析公式。 - Leonid Shifrin

@Leonid：你的魔法似乎就是我想要的那个。现在我必须纠正后续问题。非常感谢！ 不过，这个简单的分析公式是什么？ - Dror

@Dror：有关分析公式，请参阅我的答案。基本上有两个无限解族，您只需在特定的角度范围内选择所需的解即可。 - Simon

@Dror 如果我们谈论的是 [0, 2 Pi] 区间，那么：对于正值的 Sin（输入，比如 x），你有 ArcSin[x] 和 Pi - ArcSin[x]，而对于负值的 x，你有 Pi - ArcSin[x] 和 2 Pi + ArcSin[x]。 - Leonid Shifrin

Answer 3

不行。如您所知，ArcSin 是正弦函数的反函数，在范围[0，2 Pi]内不是双射的。在此范围内的某些x值产生相同的Sin值（例如Sin [3/4 [Pi]] == Sin [1/4 [Pi]]），因此您无法逆转此过程。

在绘图中，您可以得到最接近的结果：

ParametricPlot[{Sin[x], x}, {x, 0, 2 \[Pi]},
   Ticks -> {Automatic, (Range[0, 8] \[Pi]/4)}]
]

[http://i.stack.imgur.com/Jcqxy.png">

- Sjoerd C. de Vries