如何将一个投影的三维矩形转换为二维轴对齐的矩形。

Question

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我有一个3D矩形的图像（由于投影畸变，图像中的矩形不是真正的矩形）。我知道这个矩形的所有角落的世界和图像坐标。

我需要确定这个矩形内图像中一点的世界坐标。为了做到这一点，我需要计算一个转换来将该矩形投影为2D矩形。

如何计算这个转换？

提前感谢。

- fbafelipe

2个回答

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如果我理解正确，您在矩形投影中有一个二维点，并且您知道矩形的四个角的三维（世界）和二维（图像）坐标。目标是找到投影到给定点的（3D，世界）矩形内唯一点的3D坐标。

（对于矩形的3D（世界）坐标和2D（图像）坐标，请执行以下步骤1-3。）

将矩形的“原点”标记为“A”，并将其视为向量。
按顺序标记其他顶点B、C、D，使C对角线相对于A。
计算向量v=AB和w=AD。这些向量为矩形中的点提供了良好的本地坐标系。矩形中的点将采用A+rv+sw的形式，其中r、s是范围在[0,1]的实数。这个事实在世界坐标系和图像坐标系中都是正确的。在世界坐标系中，v和w是正交的，但在图像坐标系中，它们不是。没关系。
在图像坐标系中工作，从矩形图像中的点(x,y)计算出r和s的值。这可以通过对向量方程(x,y)=A+rv+sw进行线性代数运算来完成，其中只有r和s是未知的。这将归结为一个2x2矩阵方程，您可以使用Cramer法则在代码中通常解决它。(如果所需矩阵的行列式为零，则此步骤将中断。这对应于矩形被侧面看到的情况。在那种情况下，解决方案不是唯一的。如果可能，请做特殊处理。)
使用第4步中的r和s值，使用向量A、v、w计算A+rv+sw的世界坐标系。那就是矩形上的世界点。

- Josephine

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可以查看英文原文，
原文链接

- brainjam · Accepted Answer

这是在四边形之间寻找保持直线的映射的特殊情况。通常称为同构变换。其中一个四边形是矩形，因此这是一个流行的特殊情况。您可以谷歌这些术语（“quad to quad”等）以查找解释和代码，但以下是一些网站供您参考。

数学并不是特别愉快，但也不是很难。您还可以从上面的链接中找到一些代码。