我在寻找一组给定数据的最小二乘拟合存在问题。
我知道数据遵循一个函数，该函数是高斯和矩形的卷积（通过宽缝的X射线）。到目前为止，我已经查看了卷积积分，并发现它可以归结为以下表达式：
其中积分参数 a 是隙缝的宽度（未知且需要确定），g(x-t) 是高斯函数，定义如下：
因此，要拟合的函数基本上是高斯积分函数，其积分边界由宽度参数 a 给出。然后，在 x-t 的偏移量下进行积分。
这是数据的一部分和手工拟合结果。（使用 pylab 和 curve_fit 从 scipy.optimize 包中导入）
为了确认func确实描述了数据并且我的计算是正确的，我尝试对数据和函数进行了调整并匹配它们。我发现以下方案可行：
其中积分参数 a 是隙缝的宽度（未知且需要确定），g(x-t) 是高斯函数，定义如下：
因此，要拟合的函数基本上是高斯积分函数，其积分边界由宽度参数 a 给出。然后，在 x-t 的偏移量下进行积分。
这是数据的一部分和手工拟合结果。（使用 pylab 和 curve_fit 从 scipy.optimize 包中导入）# 1/10 of the Data to show the form.
xData = array([-0.1 , -0.09, -0.08, -0.07, -0.06, -0.05, -0.04, -0.03, -0.02,
-0.01, 0. , 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07,
0.08, 0.09, 0.1 ])
yData = array([ 18. , 22. , 22. , 34.000999, 54.002998,
152.022995, 398.15799 , 628.39502 , 884.781982, 848.719971,
854.72998 , 842.710022, 762.580994, 660.435974, 346.119995,
138.018997, 40.001999, 8. , 6. , 4. ,
6. ])
yerr = 0.1*yData # uncertainty of the data
plt.scatter(xData, yData)
plt.show()
# functions
def gaus(x, *p):
""" gaussian with p = A, mu, sigma """
A, mu, sigma = p
return A/(sqrt(2*pi)*sigma)*numpy.exp(-(x-mu)**2/(2.*sigma**2))
def func(x,*p):
""" Convolution of gaussian and rectangle is a gaussian integral.
Parameters: A, mu, sigma, a"""
A, mu, sigma, a = p
return quad(lambda t: gaus(x-t,A,mu,sigma),-a,a)
vfunc = vectorize(func) # Probably this is a Problem but if I dont use it, func can only be evaluated at 1 point not an array
为了确认func确实描述了数据并且我的计算是正确的，我尝试对数据和函数进行了调整并匹配它们。我发现以下方案可行：
p0=[850,0,0.01, 0.04] # will be used as starting values for fitting
sample = linspace(-0.1,0.1,200) # just to make the plot smooth
y, dy = vfunc(sample,*p0)
plt.plot(sample, y, label="Handmade Fit")
plt.scatter(xData, yData, label="Data")
plt.legend()
plt.show()
当我尝试使用刚获得的起始值来适应数据时，问题出现了:
fp, Sfcov = curve_fit(vfunc, xData, yData, p0=p0, sigma=yerr)
yf = vfunc(xData, fp)
plt.plot(x, yf, label="Fit")
plt.show()
---------------------------------------------------------------------------
TypeError Traceback (most recent call last)
<ipython-input-83-6d362c4b9204> in <module>()
----> 1 fp, Sfcov = curve_fit(vfunc, xData, yData, p0=p0, sigma=yerr)
2 yf = vfunc(xData,fp)
3 plt.plot(x,yf, label="Fit")
/usr/lib/python3/dist-packages/scipy/optimize/minpack.py in curve_fit(f, xdata, ydata, p0, sigma, **kw)
531 # Remove full_output from kw, otherwise we're passing it in twice.
532 return_full = kw.pop('full_output', False)
--> 533 res = leastsq(func, p0, args=args, full_output=1, **kw)
534 (popt, pcov, infodict, errmsg, ier) = res
535
/usr/lib/python3/dist-packages/scipy/optimize/minpack.py in leastsq(func, x0, args, Dfun, full_output, col_deriv, ftol, xtol, gtol, maxfev, epsfcn, factor, diag)
369 m = shape[0]
370 if n > m:
--> 371 raise TypeError('Improper input: N=%s must not exceed M=%s' % (n, m))
372 if epsfcn is None:
373 epsfcn = finfo(dtype).eps
TypeError: Improper input: N=4 must not exceed M=2
我觉得这意味着我的数据点比拟合参数少。好，我们来看看：
print("Fit-Parameters: %i"%len(p0))
print("Datapoints: %i"%len(yData))
Fit-Parameters: 4
Datapoints: 21
实际上，我有210个数据点。
如上所述，我不太明白为什么需要使用numpy的向量化函数对积分函数（func <> vfunc）进行处理，但是不使用它也没有帮助。一般来说，可以将numpy数组传递给函数，但在这里似乎无法正常工作。另一方面，我可能高估了最小二乘拟合的能力，在这种情况下可能无法使用，但我不想在此处使用最大似然。总的来说，我从未尝试过将积分函数拟合到数据中，因此对我来说这是新的。问题可能就在这里。我的quad知识有限，可能有更好的方法。根据我的了解，无法通过分析方法计算积分，但这显然是理想的解决方案 ;)。
那么，任何关于这个错误产生的想法呢？