3D相机坐标转换为世界坐标（基底变换？）

Question

假设我有一个物体相对于相机的坐标 X、Y、Z 和方向 Rx、Ry、Rz。 此外，我还有这个相机在世界上的坐标 U、V、W 和方向 Ru、Rv、Rw。

我如何将物体的位置（位置和旋转）转换为其在世界中的位置？

对我来说，这听起来像是基础变换，但我还没有找到清晰的来源。

- Goosebumps

Answer 1

我找到了这篇文件，对这个主题非常清楚。 http://www.cse.psu.edu/~rcollins/CSE486/lecture12.pdf

其中包括反向操作，即从世界坐标系转换为相机3D坐标系。

Pc = R ( Pw - C ) 其中，Pc是相机世界中的一个点，Pw是正常世界中的一个点，R是旋转矩阵，C是相机平移。

不幸的是，添加LaTeX公式非常繁琐，所以我将提供一些matlab代码。

function lecture12_collins()
% for plotting simplicity I choose my points on plane z=0 in this example
% Point in the world
Pw = [2 2.5 0 1]';
% rotation
th = pi/3;
% translation
c = [1 2.5 0]';
% obtain world to camera coordinate matrix
T = GetT(th, c);
% calculate the camera coordinate
Pc = T*Pw
% get the camera to world coordinate
T_ = GetT_(th, c)
% Alternatively you could use the inverse matrix
% T_ = inv(R*C)

% calculate the worldcoordinate
Pw_ = T_*Pc

assert (all(eq(Pw_ ,Pw)))


function T = GetT(th, c)
% I have assumed rotation around the z axis only here.
R = [cos(th) -sin(th) 0 0
     sin(th)  cos(th) 0 0
          0        0  1 0
          0        0  0 1];
C = [1  0   0   -c(1)
     0  1   0   -c(2)
     0  0   1   -c(3)
     0  0   0   1];
 T = R*C;

function T_ = GetT_(th, c)
% negate the angle
R_ = [cos(-th) -sin(-th) 0 0
     sin(-th)  cos(-th) 0 0
          0        0  1 0
          0        0  0 1];
% negate the translation
C_ = [1  0   0   c(1)
     0  1   0   c(2)
     0  0   1   c(3)
     0  0   0   1];
T_ = C_*R_

目前只涉及到位置问题。旋转方面，我已经通过额外的旋转知识解决了。我知道我的相机垂直于物体，并且它的旋转仅限于z轴。我可以将相机和物体的旋转相加。

- Goosebumps

Answer 2

事实上你有两个基础: 一个相对于相机，另一个是绝对的（世界）。因此，你需要将相对数据转换为绝对数据。

位置

这是最容易的。你需要通过向量t（U,V,W）来翻译（X,Y,Z）位置。因此，所有绝对位置都是（Ax, Ay, Az）=（X，Y，Z）+ t =（X + U，Y + V，Z + W）。

方向

这有点更难。你需要找到旋转矩阵，将你的摄像机从（我假设）（0,0,1）旋转到（Ru，Rv，Rw）。你应该看看基本旋转矩阵，以便分解将（0,0,1）带到（Ru，Rv，Rw）的2次旋转（例如根据X轴和根据Z轴的旋转）。我建议你在纸上画出绝对基础和向量（Ru，Rv，Rw），这是获取正确结果的最简单方法。

所以你有两个基本的旋转矩阵r1和r2。结果旋转矩阵r=r1*r2（或r2*r1，没有区别）。因此，你的物体的绝对定位是(ARx, ARy, ARz)=r*(Rx,Ry,Rz)。

希望这可以帮助！

- Cyril