球形袋中的平面到球体的投影

Question

我正在寻找将二维平面上的点[0,1]x[0,1]映射到单位球体上的数学变换。

最常见的投影是纬度和经度映射，通过将u和v解释为球坐标的角度（将u映射到[0,2PI]，将v映射到[-PI/2, PI/2]）。

这会在球体的极点产生强烈的扭曲。可以将这种转换看作是将球体包裹在一张纸上，然后在两端旋转纸张，就像将球体包装成一个糖果纸。这将在这两个端点处产生扭曲。

我正在寻找的变换可以被认为是将球体放置在一张纸的中间，并将所有边缘围绕球体并在一个单一的点上旋转它们 - 这样你就得到了一个小纸袋，里面装着你的球体。这会在“袋子”的底部产生最小的扭曲，并在顶部产生最大的扭曲 - 如果从下面看，扭曲在所有方向上都是相等的。

有人能告诉我如何计算这种映射吗？

- Mat

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2010... 哇 - 现在我正在尝试制作类似的东西，我认为这是未来，甚至是现在的时代 ;) - Maciek Czarnik

Answer 1

对于您所描述的映射，您可以使用极坐标：(x,y)-->(r,alpha)，其中r在[0,1]范围内，表示当前点P(x,y)到矩形中心O(0.5,0.5)的距离与该线段在当前alpha值下可能具有的最大长度之比。然后将r映射到[-PI/2, PI/2]，将alpha映射到[0,2PI]。

- Andy

Answer 2

我认为你正在寻找指数映射。还可以参考使用离散指数映射进行交互式贴花合成。

- Eivind

Answer 3

正确的答案取决于需要保留原始图形的哪个属性，因为每种不同的地图投影方式都会以不同的方式扭曲。有些保留面积，有些保留角度，有些保留距离。

假设这个情况是关于形状的，那么我建议使用Dymaxion map，但请注意它的平面表示不是完全矩形的。

其他选项请参见科罗拉多大学的列表。

- Saul

Answer 4

如果你使用从0到1的x-y轴（即第一象限）勾画出问题的草图，然后在同一原点处绘制出其投影的第一八分体，其轴从0到pi/2。从原点标记点（1,1），则该点到原点的大小为根号2。现在你可以看到，你的点（1,1）无法映射到球体上，因为它似乎在外面。

- Bill

Answer 5

你可以检查一下等距方位投影，不过它将整个二维平面映射到一个球上，而不仅仅是一个矩形。也许有办法来调整解决你的问题。

- Cadeyrn