在样条曲面上计算一个点

Question

我正在开发一个控制算法，用于嵌入式系统。我的编程语言是C，系统在内存和处理能力方面都比较受限。

我有几个（大约10个）三维空间中的参考点。这些参考点通常是静态的，但偶尔会变化。我想要拟合一个样条曲面，使其通过所有这些点，然后得到一个函数，对于给定的输入向量（x，z），返回平面y = 0上的距离y。

我认为这是一个需要分两部分解决的问题：1）每当参考点更改时，将计算出一些新系数；2）将系数插入到一个函数中，该函数对于给定的（x，z）返回y。（只有第二部分需要实时进行。）

我在网上进行了一些研究，但数学方面遇到了困难，而且很多材料都是针对计算机图形学的。我甚至不确定我需要哪种类型的样条曲线；NURBS和Catmull-Rom似乎都相关。最后，关于我的样条曲线边缘的形状：由于我的输入向量来自有界传感器读数，所以我并不关心曲线在该边界之外的行为。

如果您能提供一些帮助或相关材料的指针，以及任何伪代码片段，我将非常感激。

- calamity

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跟进我的问题，做了更多的研究：Catmull-Rom之所以好，是因为它满足曲面通过每个点的要求，并且计算量较小。但问题在于控制点需要被限制在z=0平面的规则网格上，并且不能有任何间隙，这与控制点可以放置在任何位置的要求相矛盾，而我也不确定会有多少个控制点。我想知道是否有一种方法可以通过对我的控制点进行反向Catmull-Rom来合成一个控制网格？ - calamity

你看过贝塞尔曲面吗？当你说“平面距离”时，是指“表面距离”还是“高度距离”？这篇论文有帮助吗？http://www.waset.org/journals/waset/v65/v65-45.pdf - Jay Elston

Answer 1

如果您能在参考点更改时以某种方式生成Bézier三角形，即使使用微控制器的受限资源，也可以轻松计算这些三角形的平滑表面--它只需要重复加法和除以二。

生成通过所有点的Bézier三角形的一种方法是在参考点上使用Delaunay三角剖分来找到覆盖您表面的一堆三角形。然后使用这些三角形的角作为您的Bézier三角形的角，并任意选择控制点，使相邻三角形之间的边缘“平滑”（而不是“折叠”）。

选择这些控制点的一种可能的方法：

对于每个三角形的角点（即每个原始参考点）：

• 找到所有以该角点为一端的三角形边
• 找到所有与该角点“连接”的点（在这些边的另一端）
• 拟合一个通过该角点且最小均方距离“接近”连接点的平面
• 对于每条边，从给定角点朝连接角点方向选择距离为1/4（或1/3或1/10或其他）的点。在找到该点在平面上的最近点后忘记该点。使用结果点作为两个相邻三角形中边界的控制点之一。

这样就得到了每个Bezier三角形的所有控制点，除了一个。

对于剩下的中心控制点，可能最简单的方法是使用角点的几何平均值（重心）。

- David Cary