如何计算三维空间中一个点的偏航角、俯仰角和翻滚角？

Question

给定一个三维空间中的点，需要哪些角度（例如欧拉角）才能将一条线转换为指向该点的方向？

想象一下，我有一条线（或一个盒子）在三维空间中，我想将其航向、俯仰和翻滚角度转换为指向从原点到三维点的方向，那么我应该使用哪些角度值？

我无法计算出指向位置（例如（1,2,3））的角度数学公式。

- Senseful

Answer 1

注意：我将使用Fletcher Dunn的3D Math Primer for Graphics and Game Development中定义的“heading，pitch，bank”约定，而不是“偏航，俯仰，滚转”。

首先，请注意，在二维坐标系中，您只需要一个角度和大小就可以“指向”二维空间中的任何点。

同样，在三维坐标系中，您只需要两个角度 + 大小就可以“指向”三维空间中的任何点。最后一个角度（“bank”或“roll”）不会影响三维空间中点的位置。相反，它“旋转”了指向该点的箭头。如果对象具有360度对称性，则根本看不到旋转影响对象。如果对象不对称（例如飞机），则会影响对象（例如将一侧机翼倾斜向地面，另一侧机翼倾斜向天空）。

因此，原始问题实际上变成了“如何找到指向三维空间中任何点的heading角度，pitch角度和大小？”

你可以轻松使用三角函数来计算。假设我们有点 (1,2,3)，并且我们正在尝试计算方向、俯仰和大小。

对于以下示例，让我们使用此图表，其中左侧轴为 X，上方为 Y，右侧为 Z。那么点 (1,2,3) 就由蓝色球体表示。

1. 求大小

首先，让我们找到最简单的值，即大小。幸运的是，无论我们处于多少维度，任意两点之间的大小（长度）都很容易找到，只需使用毕达哥拉斯定理即可。由于我们处于三维空间，并且正在计算从原点到我们的点的距离，因此我们的距离公式变为：

magnitude = sqrt(x*x + y*y + z*z)

插入我们的实际值：

magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
          = 3.7416573868

因此，我们的大小（或长度）约为3.741。

2. 查找标题

接下来，要查找标题，请注意我们只关心绕XZ平面的旋转，而完全不关心Y轴。如果我们将3D空间“压平”成2D，则变得轻松查找标题。

我们可以画一个与X轴形成90度角的三角形（红色三角形），然后计算该角度。从三角函数中回忆，tan(angle) = opposite / adjacent，解出angle，我们得到angle = arctan(opposite / adjacent)。

在这种情况下，“相邻”是已知量（redAdjacent = x = 1），而“对边”也是已知的（redOpposite = z = 3）。但我们不想使用arctan来解决方程，而是要使用atan2，因为它会为我们处理x和y的所有不同情况。

heading = atan2(redOpposite, redAdjacent)

将我们的实际值插入：

heading = atan2(3, 1)
        = 1.249045772398

因此，我们的标题为1.249弧度，或者约为72°。

3. 找到俯仰角

最后，我们需要找到俯仰角。与我们在标题中所做的类似，我们可以将三维空间沿包含这三个点的平面展成二维：（A）原点(0,0,0)，（B）我们的点(1,2,3)和（C）我们的点在XZ平面上的投影(1,0,3)（例如，将Y值设置为0）。

如果我们在这三个点之间画一个三角形，你会注意到它们再次形成了一个直角三角形（绿色三角形）。我们可以再次使用arctan2简单地计算出角度。

我们已经在步骤1中计算出了绿色斜边（即我们向量的大小）：

greenHypotenuse = sqrt(x*x + y*y + z*z)
                = 3.7416573868

我们也知道绿色三角形的相反面与y值相同：

greenOpposite = y
              = 2

使用勾股定理，我们可以找到相邻角的长度：

greenOpposite^2 + greenAdjacent^2 = greenHypotenuse^2
y*y + greenAdjacent^2 = x*x + y*y + z*z
greenAdjacent^2 = x*x + z*z
greenAdjacent = sqrt(x*x + z*z)

注意，计算绿色三角形的邻边长度的另一种方法是注意到redHypotenuse == greenAdjacent，我们可以使用以下方法找到redHypotenuse：

redHypotenuse^2 = redAdjacent^2 + redOpposite^2
                = x*x + z*z
redHypotenuse = sqrt(x*x + z*z)

插入实际值，我们得到：

greenAdjacent = sqrt(1*1 + 3*3)
              = 3.1622776602

现在我们知道了绿色三角形的邻边和对边长度，我们可以再次使用 arctan2 函数：

pitch = atan2(greenOpposite, greenAdjacent)
      = atan2(2, 3.1622776602)
      = 0.563942641356

因此，我们的俯仰角是0.5634弧度，约为32°。

结论

如果您从原点开始画一条长度为3.741、方向为1.249弧度、俯仰角为0.564弧度的直线，则它将从(0,0,0)延伸到(1,2,3)。

- Senseful

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如果您想在任意两点之间进行相同的操作，只需将一个点从另一个点中减去。 - Senseful

非常清晰的答案。谢谢！ - Hephaestus