如何使用轮廓（链码）来计算对象的面积？

Question

假设我有一个使用8-连通性、旋转的平方物体，其链码为[1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7]。如何推导它的面积，即像素数量？

编辑：

我从边界像素中推导出了链码。如果通过边界像素更容易计算面积，如何做到这一点？

该算法应能够找到由边界所包围的像素数量（包括边界像素）。边界的形状可以是任意的，只要是封闭的且不与自身相交。

- Skogen

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你的意思是要计算一个立方体的面积吗？ - Michael David Watson

不，黑白图像（x，y）中没有对象。对于这个例子，答案应该是41。如果它没有旋转，那么它将是5*5=25。 - Skogen

Answer 1

任何多边形的面积都可以使用以下公式根据其顶点计算得出：

A = 1/2 Sum(i = 1..n, x[i]*y[i+1] - x[i+1]*y[i])

Source: Wolfram MathWorld

- Niki

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检查一下您的公式，是否适用于未旋转的2x2正方形 ；-) - Egor Skriptunoff

@EgorSkriptunoff：对于一个未旋转的2x2正方形，其顶点为{{0, 0}, {2, 0}, {2, 2}, {0, 2}}，我得到的面积为4。看起来没问题。 - Niki

你是如何从链码 [0, 2, 4, 6] 推导出这些坐标的？ - Egor Skriptunoff

@nikie：这个公式可以给出数学上正确的面积，但我需要像素数量... - Skogen

Answer 2

其中
n - 边缘像素的数量，
(x_k, y_k) - 第k个边界像素的坐标（通过假设x_1=0，y_1=0从您的链码中派生），
第(n+1)个像素是第一个像素。

- Egor Skriptunoff

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@denver - 参考什么？我是自己推导出这个公式的。 - Egor Skriptunoff

n+2是从哪里来的？ - Niki

@nikie - 这是由边界像素中心形成的多边形周围框架的区域。 - Egor Skriptunoff

@EgorSkriptunoff：这个公式不能给任意不相交的闭合轮廓提供通解。 - Skogen

如果您是自己推导出来的，那么能否提供您的推导过程。 - denver

@Skogen - 是的，它提供了一般解决方案。你有反例吗？ - Egor Skriptunoff

Answer 3

请参见维基百科：皮克定理。

这是一个非凡的结果，仅适用于顶点在平面的某个表示中具有整数坐标的情况。我认为在您的情况下这是成立的。如果是这样，它提供了一种非常简单的计算面积的方法。

- Peter Webb

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非常不简单！因为你知道轮廓点的数量，这仅仅是 Freeman 链的长度，但你不知道内部点的数量。要找到这些点，你可以画出轮廓并使用种子填充，或者执行直接的多边形填充，但这比鞋带公式复杂得多，而且效率更低。 - user1196549