Python中的不准确对数

Question

我在公司每天使用Python 2.4进行工作。我使用标准math库中的通用对数函数"log"，当我输入log(2**31, 2)时，它返回了31.000000000000004，这让我感到有点奇怪。

我用其他2的幂运行了相同的操作，它完美地运行了。我运行了'log10(2**31) / log10(2)'，得到了一个整数31.0。

我尝试在Python 3.0.1中运行相同的原始函数，认为这个问题会在更高级的版本中得到修复。

为什么会出现这种情况？是否可能在Python的数学函数中存在一些不准确性？

- Avihu Turzion

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这是关于浮点数错误的经典问题的重复，但我找不到最好的重复问题来发布，或许其他人可以帮忙。 - Jason S

我应该指出的是，Python 3没有修复浮点错误。相反，打印输出使用智能算法显示预期的浮点值，而不是松散的值。 - Xavier Ho

Answer 1

由于计算机算术遵循特定规则，例如IEEE 754，因此这是可以预期的。这些规则可能与您在学校学习的数学不同。

如果这真的很重要，请使用Python的十进制类型(decimal type)。

示例：

from decimal import Decimal, Context
ctx = Context(prec=20)
two = Decimal(2)
ctx.divide(ctx.power(two, Decimal(31)).ln(ctx), two.ln(ctx))

- Matthew Flaschen

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感谢您的好回答，尤其是其中的"If this actually matters."这句话。甚至探测器飞往土星的精度都不如此。 - dwc

确实。斜体字是答案中最重要的部分。 - Matthew Flaschen

如果原文中的OP在log函数的结果上取ceil，那么错误会变得非常大。在我的一个程序中，我执行了这个操作：a = floor(log(x,b))，后面几行代码就会崩溃，因为floor(log(243,3))的结果是4。 - Rushil Paul

Answer 2

你应该阅读《计算机科学家应该了解的浮点运算知识》（What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic）。 http://docs.sun.com/source/806-3568/ncg_goldberg.html

- bayer

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非常感谢。这是一个非常有用的参考资料。 - Avihu Turzion

Answer 3

始终假定浮点运算会存在一些误差，并且在检查等式时考虑到这种误差（可以使用百分比值，如0.00001％，也可以使用固定值，如0.00000000001）。由于不是所有十进制数字都能用具有固定精度的二进制表示，所以这种不准确性是确定的。

如果 Python 使用 IEEE754，则单精度甚至可以轻松表示31，因此您的特定情况并非它们中的一个。然而，在计算log₂2³¹的许多步骤之一中，它可能会失去精度，仅因为它没有代码来检测像直接的2的幂这样的特殊情况。

- paxdiablo

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非常有趣。我写代码已经很长时间了，但这是我第一次遇到这种现象。但在这里得到的回应之后，我现在开始看到它发生的更大背景。 - Avihu Turzion

Answer 4

浮点运算永远不是精确的。它们返回一个相对误差可接受的结果，适用于语言/硬件基础架构。

一般来说，假设浮点运算是精确的是非常错误的，特别是在单精度下。可以参考维基百科浮点数文章中的“精度问题”部分 :)

- Nicolas Dumazet

Answer 5

IEEE双精度浮点数具有52位精度。由于10^15 < 2^52 < 10^16，因此双精度浮点数具有15到16个有效数字。结果31.000000000000004在16个有效数字范围内是正确的，因此它是可以接受的。

- John D. Cook

Answer 6

这是正常的。我希望log10比log(x, y)更准确，因为它知道对数的底数是什么，此外可能还有一些硬件支持计算以10为底数的对数。

- quant_dev

Answer 7

浮点数是不精确的。

我不认同这个观点，因为在大多数平台上，精确的二次幂可以被准确地表示（使用底层IEEE 754浮点数）。

因此，如果我们真的希望一个精确的2的对数是准确的，我们就可以做到。
我将在Squeak Smalltalk中演示它，因为在该语言中更改基本系统很容易，但语言并不重要，浮点计算是通用的，Python对象模型与Smalltalk相差不远。

对于以n为底数取对数，Number中定义了log:函数，它天真地使用自然对数ln：

log: aNumber 
    "Answer the log base aNumber of the receiver."
    ^self ln / aNumber ln

self ln（对接收者取自然对数），aNumber ln和/是三个将结果四舍五入到最近的Float的操作，这些舍入误差可能会累积...因此，天真的实现会受到您观察到的舍入误差的影响，我猜想Python的log函数实现也不会有太大的区别。

((2 raisedTo: 31) log: 2) = 31.000000000000004

但是如果我像这样改变定义：

log: aNumber 
    "Answer the log base aNumber of the receiver."
    aNumber = 2 ifTrue: [^self log2].
    ^self ln / aNumber ln

提供一个通用的 Number 类中的 log2：

log2
    "Answer the base-2 log of the receiver."
    ^self asFloat log2

还有 Float 类中的这个改进：

log2
    "Answer the base 2 logarithm of the receiver.
    Care to answer exact result for exact power of two."
    ^self significand ln / Ln2 + self exponent asFloat

Ln2是一个常数（2 ln），因此对于二的幂次方，我可以获得精确的log2，因为这种数字的有效数字=1.0（包括Squeak指数/有效数字定义的子规范），而1.0 ln = 0.0。

实现非常简单，并且应该在Python中很容易转换（可能在VM中）；运行时成本非常便宜，因此只是一个我们认为这个功能有多重要或不重要的问题。

正如我经常说的那样，浮点运算结果舍入为最接近的（或任何舍入方向）可表示值并不意味着我们可以浪费ulp。精确性具有成本，无论是运行时惩罚还是实现复杂性，都需要权衡。

- aka.nice

Answer 8

在 Python 中，数字的 repr（即 float.__repr__）表示尝试在转换回来时返回尽可能接近实际值的数字字符串，因为 IEEE-754 算术精确到一定的限度。无论如何，如果您将结果 print 出来的话，您都不会注意到这一点：

>>> from math import log
>>> log(2**31,2)
31.000000000000004
>>> print log(2**31,2)
31.0

print 将其参数转换为字符串（在这种情况下，通过 float.__str__ 方法），该方法通过显示较少的数字来适应不精确性：

>>> log(1000000,2)
19.931568569324174
>>> print log(1000000,2)
19.9315685693
>>> 1.0/10
0.10000000000000001
>>> print 1.0/10
0.1

usuallyuseless的回答实际上非常有用 :)

- tzot

Answer 9

如果您想计算数字'n'中'k'的最高次幂，那么下面的代码可能会有所帮助：

import math
answer = math.ceil(math.log(n,k))
while k**answer>n:
    answer-=1

注意：在编程中，不应该使用“if”代替“while”，因为这样会导致某些情况下得出错误的结果，例如当n=2**51-1且k=2时。在使用“if”的情况下，答案是51，而使用“while”则得到正确的答案50。

- Developer