Scipy：在整个表面进行积分时如何加速？

Question

我有一个概率密度函数（PDF）f(x,y)。要在点（x，y）处获取其累积分布函数（CDF）F（x，y），您需要对f（x，y）进行积分，如下所示： 在Scipy中，我可以通过integrate.nquad来实现：

x, y=5, 4
F_at_x_y = integrate.nquad(f, [[-inf, x],[-inf, y]])

现在，我需要整个 F(x,y) 在 x-y 面板中，类似于这样的东西:

如何做到呢?

主要问题是，对于从 (-30,-30) 到 (30,30) 范围内的每一个点，都需要从头开始进行 integrate.nquad 来获取 F(x,y)，这太慢了。

我想知道，由于结果是连续的(例如，您通过 F(4,4) 的值得到 F(5,6)，并积分在这两点之间的区域)，是否有可能加速该过程? 因此我们不必在每个点上从头开始运行 integrate ，从而使该过程更快。

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可能有用的链接：

使用scipy在Python中计算多变量正态分布函数

http://cn.mathworks.com/help/stats/mvncdf.html

我正在考虑从斐波那契数列借鉴一些东西

如何在Python中编写斐波那契数列

- cqcn1991

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你真的需要多元正态分布（3个链接中的3个），还是一些通用分布？你尝试过直接使用Ffun=lambda x,y:integrate.nquad(f, [[-inf, x],[-inf, y]]); Fvals=[Ffun(x,y) for x,y in zip(xarr,yarr)]，然后按照你所说的，在双重循环中从x[i-1]积分到x[i]，并进行比较吗？ - Andras Deak -- Слава Україні

@AndrasDeak，我需要它进行普遍分发。速度非常慢，因为我的一个 pdf 是作为 kdf (http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.neighbors.KernelDensity.html#sklearn.neighbors.KernelDensity.score_samples) 的瓶颈。multivariate normal 的 pdf 比那个快得多。 - ZK Zhao

Answer 1

最终，这是我所做的：

F 是累积分布函数，f 是概率密度函数

F(5,5) = F(5,4) + F(4,5) - 2 *F(4,4) + f(5,5)

遍历整个表面，你就可以得到结果。

代码如下：

def cdf_from_pdf(pdf):
    if not isinstance(pdf[0], np.ndarray):
        original_dim = int(np.sqrt(len(pdf)))
        pdf = pdf.reshape(original_dim,original_dim)
    cdf = np.copy(pdf)
    xdim, ydim = cdf.shape
    for i in xrange(1,xdim):
         cdf[i,0] =  cdf[i-1,0] +  cdf[i,0]
    for i in xrange(1,ydim):
         cdf[0,i] =  cdf[0,i-1] +  cdf[0,i]
    for j in xrange(1,ydim):
        for i in xrange(1,xdim):
             cdf[i,j] =  cdf[i-1,j] +  cdf[i,j-1] -  cdf[i-1,j-1] + pdf[i,j]
    return cdf

这只是一个非常粗略的近似值，你可以通过将 +/- 方程转换为积分来完善结果。

至于原始值和边际值 cdf[0,:] 和 cdf[:,0]，你也可以使用积分。在我的情况下，它非常小，所以我只使用了 PDF 值。

你可以通过绘制 cdf 或检查 cdf[n,n] 处的值来测试该函数。

- ZK Zhao