两个三维向量之间的X角度是多少？

Question

我有两个名为A和B的3D向量，它们只有一个3D位置。我知道如何使用atan2函数找到沿着单位圆从0-360度范围内的角度，方法是：

编辑：（我的atan2函数没有意义，现在应该找到2个向量之间的“y角度”）：

toDegrees(atan2(A.x-B.x,A.z-B.z))+180

但这只给我两个向量之间的Y角度。 我需要找到它们之间的X角度。 这与使用x，y和z位置值有关。 而不是仅使用x和z，因为这会产生两个向量之间的Y角度。

我需要X角度，我知道听起来很模糊，但我不知道如何解释。 也许例如您在3D空间中拥有相机，如果您向上或向下看，则会旋转x轴。 但现在我需要获取两个向量之间的“上/下”角度。 如果我沿着y轴旋转该3D相机，则x轴不会更改。 因此，对于这2个向量，无论它们之间的“y角度”是多少，如果y角度发生变化，这两个向量之间的x角度将保持不变，因为它是“上下”角度，就像相机一样。

请帮忙吗？ 我只需要一行数学/伪代码或解释。 :)

- Arundel

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让我们使用yaw，pitch和roll来命名不同的旋转。根据我阅读的文本，“X角度”指的是“yaw”（相机的“pan”），而“Y角度”指的是“pitch”（相机的“tilt”）。通常，绕yaw轴的旋转会改变pitch和roll轴的位置。当您写道“无论y角度如何，x角度保持不变”时，似乎您正在绝对地定义yaw轴（始终指向“上”），但是其他两个相对。但是它们的定义不清楚。您能否使用这些术语重新表述问题？ - MvG

Answer 1

atan2(crossproduct.length,scalarproduct)

使用atan2而不是arccos或arcsin的原因是准确性。arccos在接近0度时表现非常糟糕。参数中的小计算误差将导致结果中的不成比例的大误差。arcsin在接近90度时也有同样的问题。

- maxim1000

Answer 2

计算高度角

好的，我可能终于理解了你在下面评论中关于结果与 y 角无关以及它如何与两个向量相关的问题。似乎你并不真正关心 两个 向量和这两个向量之间的夹角，而是关心 差向量 和一个相对水平面成的角度。在水平坐标系（常用于天文学）中，该角度称为“高度”或“仰角”，与你的相机的“倾斜”密切相关，而“方位角”则与“平移”有关，在你修改后的问题中使用公式计算“方位角”。

我们仍然有一个二维问题。2D向量的一个坐标是差向量的 y 坐标。另一个坐标是将其投影到水平面上后的向量长度，即sqrt(x*x + z*z)。最终的解决方案将是

x = A.x - B.x
y = A.y - B.y
z = A.z - B.z
alt = toDegrees(atan2(y, sqrt(x*x + z*z)))
az = toDegrees(atan2(-x, -z))

订单（A-B与B-A相反）的选择是为了“将A放在B上”得到正的y并且高度为正，这符合下面您的评论。方位角计算中的减号应替换您在问题中的代码中的+180，但现在范围是[-180, 180]而不是[0, 360]。只是提供另一种选择，可以选择您喜欢的任何一种。实际上，无论哪种方式，都会计算出B - A的方位角。对于这两个角度使用不同的顺序可能有些令人困惑，因此请考虑一下是否真的需要这样做，或者是否需要通过将高度的符号取反或将方位角更改为180°来更改这两个角之间的关系。

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正交投影

供参考，我将在下面保留我的原始答案，对于那些实际上正在寻找围绕某个固定x轴旋转的角度的人，就像原始问题所建议的那样。

如果您在问题中提到的这个x角度确实是围绕x轴旋转的角度，就像摄像机示例所示，那么您可能希望这样考虑：将x坐标设置为零，那么您将得到y-z平面上的2D向量。您可以将其视为对该平面的正交投影。现在您又回到了一个2D问题，可以在那里解决它。

个人建议只需两次调用atan2，一次用于每个向量，并减去所得到的角度：

toDegrees(atan2(A.z, A.y) - atan2(B.z, B.y))

上述公式中的 x=0 是隐含的，因为我只对 y 和 z 进行操作。

目前我还没有完全理解你单个 atan2 调用背后的逻辑，但是，我需要这么长时间思考它的事实表明，如果没有很好的解释性注释，我不想维护它。

我希望我正确地理解了你的问题，这就是你正在寻找的东西。

- MvG

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谢谢，我已经纠正了我的atan2函数，我之前打错了。现在它应该可以得到两个向量之间的“y角度”。我会尝试使用你的版本来减去角度。我也理解了你的正交投影建议。如果经过多次尝试后仍然不行，我会再详细解释一下。 - Arundel

好的，这并没有解决我的问题，但我必须说我们已经接近了。所以再举个相机的例子：如果相机向上或向下旋转，x角度会改变。如果y角度改变，x角度不会改变。因此，无论向量之间的“y角度”（就像我的atan2函数一样）是什么，向量之间的x角度保持不变。如果：向量的y位置相同，则向量之间的x角度始终为0；如果：向量A在B的上方，则x角度始终为90度；如果：A在B的下方，则x角度始终为-90度。你知道的，这些值之间的所有内容。 - Arundel

@user1569781：听起来你想要投影到一个包含y轴但不一定包含z轴的平面上。因此，这个平面似乎是由y轴和你的两个向量定义的。但是怎么定义呢？你的其中一个向量是否像相机一样，所以你想要投影到由该向量和y轴张成的平面上？还是你正在寻找对称解决方案，如果交换A和B会得到相同的结果？ - MvG

@user1569781，再次阅读您的评论，我希望我已经弄对了。上面编辑过的解决方案是您要找的吗？ - MvG

哇，非常感谢@MvG，确实是我想要的高度。我听说过方位角和高度这些术语，但不知道它们是如何工作的。很抱歉我试图解释得含糊不清，但最终它起作用了。非常感谢。我也感谢其他贡献信息的人们。:D 我希望其他人能从这个帖子中学到东西。如果你好奇我要用这个做什么：我已经用2D Gui制作了一个基本的3D游戏引擎，这些信息对于3D相机和3D场景非常有用。:) - Arundel

Answer 3

就像2D向量一样，你可以通过解决它们的点积的余弦值来计算它们的角度。

你不需要使用atan，你总是使用点积因为它是向量的基本运算，然后使用acos获得角度。

double angleInDegrees = acos ( cos(theta) ) * 180.0 / PI;

- Christian

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谢谢，但是有问题。当向量A与向量B平行（前方）时，我使用了这些向量：A<4,6,17>; B<4,6,-8>，它应该给出0度，因为y轴相同。但实际上它给出了约24.19度。当我尝试：A<4,6,17>; B<4,21,17>，它给出了约48.96度。应该是90度，因为向量B在A的顶部。你能看到哪里出了问题吗？Theta是整个公式还是如果不是怎么解决它？ - Arundel