我有四个二维点，p0 = (x0,y0), p1 = (x1,y1)等等，它们形成了一个四边形。在我的情况下，这个四边形不是矩形，但它至少应该是凸的。
p2 --- p3
| |
t | p |
| |
p0 --- p1
s
我正在使用双线性插值。S和T在[0..1]之间，插值点由以下公式给出：
bilerp(s,t) = t*(s*p3+(1-s)*p2) + (1-t)*(s*p1+(1-s)*p0)
问题是这样的。我有一个2D点p，我知道它在四边形内。我想找到s,t，当使用双线性插值时，可以给我该点。
是否有一个简单的公式来反转双线性插值？
感谢解决方案。我将Naaff的解决方案实现发布为维基。
x = (1-s)*( (1-t)*x0 + t*x2 ) + s*( (1-t)*x1 + t*x3 )
y = (1-s)*( (1-t)*y0 + t*y2 ) + s*( (1-t)*y1 + t*y3 )
t = ( (1-s)*(x0-x) + s*(x1-x) ) / ( (1-s)*(x0-x2) + s*(x1-x3) )
t = ( (1-s)*(y0-y) + s*(y1-y) ) / ( (1-s)*(y0-y2) + s*(y1-y3) )
A*(1-s)^2 + B*2s(1-s) + C*s^2 = 0
在哪里：
A = (p0-p) X (p0-p2)
B = ( (p0-p) X (p1-p3) + (p1-p) X (p0-p2) ) / 2
C = (p1-p) X (p1-p3)
s = ( (A-B) +- sqrt(B^2 - A*C) ) / ( A - 2*B + C )
s = A / (A-C)
可以使用牛顿法迭代地解决下列非线性方程组：
p = p0*(1-s)*(1-t) + p1*s*(1-t) + p2*s*t + p3*(1-s)*t.
r = p - (p0*(1-s)*(1-t) + p1*s*(1-t) + p2*s*t + p3*(1-s)*t),
并且Jacobian矩阵 J，通过对残差进行微分得到。对于我们的问题，Jacobian矩阵为：
J(:,1) = dr/ds = -p0*(1-t) + p1*(1-t) + p2*t - p3*t (first column of matrix)
J(:,2) = dr/dt = -p0*(1-s) - p1*s + p2*s + p3*(1-s) (second column).
要使用牛顿法，首先需要一个初始猜测值（s,t），然后进行以下迭代数次：
(s,t) = (s,t) - J^-1 r,
每次迭代都使用新的{s}和{t}值重新计算J和r。在每次迭代中，主要成本在于将Jacobian的逆应用于残差（J^-1 r），通过解一个以J为系数矩阵，以r为右手边的2x2线性系统。
方法的直觉：
直观地说，如果四边形是平行四边形，那么解决问题就会容易得多。牛顿法使用连续的平行四边形近似来解决四边形问题。在每次迭代中，我们
使用点（s，t）处的局部导数信息来用平行四边形近似表示四边形。
通过解一个线性系统找到在平行四边形近似下的正确（s，t）值。
跳转到这个新点并重复。
该方法的优点：
作为牛顿类型方法的预期，收敛速度非常快。随着迭代的进行，该方法不仅越来越接近真实点，而且局部平行四边形逼近也变得更加准确，因此收敛速度本身也增加了（在迭代方法的术语中，我们说牛顿法是二次收敛）。在实践中，这意味着每次迭代的正确数字数量大约增加一倍。Iteration Error
1 0.0610
2 9.8914e-04
3 2.6872e-07
4 1.9810e-14
5 5.5511e-17 (machine epsilon)
经过两次迭代，误差已经足够小，对于大多数实际应用来说几乎不会被注意到，并且经过5次迭代后，结果精确到机器精度的限度。
如果您固定迭代次数（比如，对于大多数实际应用，使用3次迭代，而对于需要非常高的精度，则使用8次迭代），那么该算法具有非常简单和直接的逻辑结构，适合高性能计算。无需检查各种特殊边缘情况*，也无需根据结果使用不同的逻辑。它只是一个包含几个简单公式的for循环。以下我将强调这种方法相对于其他答案中和互联网上发现的传统基于公式的方法的几个优点：
易于编码。只需编写一个for循环并键入几个公式。
没有条件或分支（if/then），这通常可以实现更好的流水线效率。
每次迭代仅需要1次除法，无需平方根（如果编写得好）。所有其他操作都是简单的加法、减法和乘法。平方根和除法通常比加法/乘法/乘法慢几倍，并且可能会在某些体系结构上损坏缓存效率（最明显的是在某些嵌入式系统上）。事实上，如果您在现代编程语言中查看平方根和除法的实际计算方式，它们都使用牛顿法的变体，有时是硬件中的牛顿法，有时是软件中的牛顿法，具体取决于体系结构。
可以轻松进行矢量化，以一次处理大量四边形数组。请参见下面的矢量化代码，以了解如何执行此操作的示例。
扩展到任意维度。该算法可直接扩展到任意维度的反多线性插值（2d、3d、4d等）。我在下面包含了一个3D版本，人们可以想象编写一个简单的递归版本，或使用自动微分库来转到n维。牛顿法通常表现出无关维数的收敛速度，因此原则上该方法应该可扩展到当前硬件上的几千个维度（在此之后，构建和解决n乘以n矩阵J可能会成为限制因素）。
function q = bilinearInverse(p,p1,p2,p3,p4,iter)
%Computes the inverse of the bilinear map from [0,1]^2 to the convex
% quadrilateral defined by the ordered points p1 -> p2 -> p3 -> p4 -> p1.
%Uses Newton's method. Inputs must be column vectors.
q = [0.5; 0.5]; %initial guess
for k=1:iter
s = q(1);
t = q(2);
r = p1*(1-s)*(1-t) + p2*s*(1-t) + p3*s*t + p4*(1-s)*t - p;%residual
Js = -p1*(1-t) + p2*(1-t) + p3*t - p4*t; %dr/ds
Jt = -p1*(1-s) - p2*s + p3*s + p4*(1-s); %dr/dt
J = [Js,Jt];
q = q - J\r;
q = max(min(q,1),0);
end
end
示例用法：
% Test_bilinearInverse.m
p1=[0.1;-0.1];
p2=[2.2;-0.9];
p3=[1.75;2.3];
p4=[-1.2;1.1];
q0 = rand(2,1);
s0 = q0(1);
t0 = q0(2);
p = p1*(1-s0)*(1-t0) + p2*s0*(1-t0) + p3*s0*t0 + p4*(1-s0)*t0;
iter=5;
q = bilinearInverse(p,p1,p2,p3,p4,iter);
err = norm(q0-q);
disp(['Error after ',num2str(iter), ' iterations: ', num2str(err)])
示例输出：
>> test_bilinearInverse
Error after 5 iterations: 1.5701e-16
快速向量化的2D版本：
function [ss,tt] = bilinearInverseFast(px,py, p1x,p1y, p2x,p2y, p3x,p3y, p4x,p4y, iter)
%Computes the inverse of the bilinear map from [0,1]^2 to the convex
% quadrilateral defined by the ordered points p1 -> p2 -> p3 -> p4 -> p1,
% where the p1x is the x-coordinate of p1, p1y is the y-coordinate, etc.
% Vectorized: if you have a lot of quadrilaterals and
% points to interpolate, then p1x(k) is the x-coordinate of point p1 on the
% k'th quadrilateral, and so forth.
%Uses Newton's method. Inputs must be column vectors.
ss = 0.5 * ones(length(px),1);
tt = 0.5 * ones(length(py),1);
for k=1:iter
r1 = p1x.*(1-ss).*(1-tt) + p2x.*ss.*(1-tt) + p3x.*ss.*tt + p4x.*(1-ss).*tt - px;%residual
r2 = p1y.*(1-ss).*(1-tt) + p2y.*ss.*(1-tt) + p3y.*ss.*tt + p4y.*(1-ss).*tt - py;%residual
J11 = -p1x.*(1-tt) + p2x.*(1-tt) + p3x.*tt - p4x.*tt; %dr/ds
J21 = -p1y.*(1-tt) + p2y.*(1-tt) + p3y.*tt - p4y.*tt; %dr/ds
J12 = -p1x.*(1-ss) - p2x.*ss + p3x.*ss + p4x.*(1-ss); %dr/dt
J22 = -p1y.*(1-ss) - p2y.*ss + p3y.*ss + p4y.*(1-ss); %dr/dt
inv_detJ = 1./(J11.*J22 - J12.*J21);
ss = ss - inv_detJ.*(J22.*r1 - J12.*r2);
tt = tt - inv_detJ.*(-J21.*r1 + J11.*r2);
ss = min(max(ss, 0),1);
tt = min(max(tt, 0),1);
end
end
为了加快速度，此代码隐式使用以下公式计算2x2矩阵的逆：
[a,b;c,d]^-1 = (1/(ad-bc))[d, -b; -c, a]
示例用法：
% test_bilinearInverseFast.m
n_quads = 1e6; % 1 million quads
iter = 8;
% Make random quadrilaterals, ensuring points are ordered convex-ly
n_randpts = 4;
pp_xx = zeros(n_randpts,n_quads);
pp_yy = zeros(n_randpts,n_quads);
disp('Generating convex point ordering (may take some time).')
for k=1:n_quads
while true
p_xx = randn(4,1);
p_yy = randn(4,1);
conv_inds = convhull(p_xx, p_yy);
if length(conv_inds) == 5
break
end
end
pp_xx(1:4,k) = p_xx(conv_inds(1:end-1));
pp_yy(1:4,k) = p_yy(conv_inds(1:end-1));
end
pp1x = pp_xx(1,:);
pp1y = pp_yy(1,:);
pp2x = pp_xx(2,:);
pp2y = pp_yy(2,:);
pp3x = pp_xx(3,:);
pp3y = pp_yy(3,:);
pp4x = pp_xx(4,:);
pp4y = pp_yy(4,:);
% Make random interior points
ss0 = rand(1,n_quads);
tt0 = rand(1,n_quads);
ppx = pp1x.*(1-ss0).*(1-tt0) + pp2x.*ss0.*(1-tt0) + pp3x.*ss0.*tt0 + pp4x.*(1-ss0).*tt0;
ppy = pp1y.*(1-ss0).*(1-tt0) + pp2y.*ss0.*(1-tt0) + pp3y.*ss0.*tt0 + pp4y.*(1-ss0).*tt0;
pp = [ppx; ppy];
% Run fast inverse bilinear interpolation code:
disp('Running inverse bilinear interpolation.')
tic
[ss,tt] = bilinearInverseFast(ppx,ppy, pp1x,pp1y, pp2x,pp2y, pp3x,pp3y, pp4x,pp4y, 10);
time_elapsed = toc;
disp(['Number of quadrilaterals: ', num2str(n_quads)])
disp(['Inverse bilinear interpolation took: ', num2str(time_elapsed), ' seconds'])
err = norm([ss0;tt0] - [ss;tt],'fro')/norm([ss0;tt0],'fro');
disp(['Error: ', num2str(err)])
示例输出：
>> test_bilinearInverseFast
Generating convex point ordering (may take some time).
Running inverse bilinear interpolation.
Number of quadrilaterals: 1000000
Inverse bilinear interpolation took: 0.5274 seconds
Error: 8.6881e-16
3D版本：
包括一些代码来显示收敛进度。
function ss = trilinearInverse(p, p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8, iter)
%Computes the inverse of the trilinear map from [0,1]^3 to the box defined
% by points p1,...,p8, where the points are ordered consistent with
% p1~(0,0,0), p2~(0,0,1), p3~(0,1,0), p4~(1,0,0), p5~(0,1,1),
% p6~(1,0,1), p7~(1,1,0), p8~(1,1,1)
%Uses Gauss-Newton method. Inputs must be column vectors.
tol = 1e-9;
ss = [0.5; 0.5; 0.5]; %initial guess
for k=1:iter
s = ss(1);
t = ss(2);
w = ss(3);
r = p1*(1-s)*(1-t)*(1-w) + p2*s*(1-t)*(1-w) + ...
p3*(1-s)*t*(1-w) + p4*(1-s)*(1-t)*w + ...
p5*s*t*(1-w) + p6*s*(1-t)*w + ...
p7*(1-s)*t*w + p8*s*t*w - p;
disp(['k= ', num2str(k), ...
', residual norm= ', num2str(norm(r)),...
', [s,t,w]= ',num2str([s,t,w])])
if (norm(r) < tol)
break
end
Js = -p1*(1-t)*(1-w) + p2*(1-t)*(1-w) + ...
-p3*t*(1-w) - p4*(1-t)*w + ...
p5*t*(1-w) + p6*(1-t)*w + ...
-p7*t*w + p8*t*w;
Jt = -p1*(1-s)*(1-w) - p2*s*(1-w) + ...
p3*(1-s)*(1-w) - p4*(1-s)*w + ...
p5*s*(1-w) - p6*s*w + ...
p7*(1-s)*w + p8*s*w;
Jw = -p1*(1-s)*(1-t) - p2*s*(1-t) + ...
-p3*(1-s)*t + p4*(1-s)*(1-t) + ...
-p5*s*t + p6*s*(1-t) + ...
p7*(1-s)*t + p8*s*t;
J = [Js,Jt,Jw];
ss = ss - J\r;
end
end
使用示例：
%test_trilinearInverse.m
h = 0.25;
p1 = [0;0;0] + h*randn(3,1);
p2 = [0;0;1] + h*randn(3,1);
p3 = [0;1;0] + h*randn(3,1);
p4 = [1;0;0] + h*randn(3,1);
p5 = [0;1;1] + h*randn(3,1);
p6 = [1;0;1] + h*randn(3,1);
p7 = [1;1;0] + h*randn(3,1);
p8 = [1;1;1] + h*randn(3,1);
s0 = rand;
t0 = rand;
w0 = rand;
p = p1*(1-s0)*(1-t0)*(1-w0) + p2*s0*(1-t0)*(1-w0) + ...
p3*(1-s0)*t0*(1-w0) + p4*(1-s0)*(1-t0)*w0 + ...
p5*s0*t0*(1-w0) + p6*s0*(1-t0)*w0 + ...
p7*(1-s0)*t0*w0 + p8*s0*t0*w0;
ss = trilinearInverse(p, p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8);
disp(['error= ', num2str(norm(ss - [s0;t0;w0]))])
示例输出：
test_trilinearInverse
k= 1, residual norm= 0.38102, [s,t,w]= 0.5 0.5 0.5
k= 2, residual norm= 0.025324, [s,t,w]= 0.37896 0.59901 0.17658
k= 3, residual norm= 0.00037108, [s,t,w]= 0.40228 0.62124 0.15398
k= 4, residual norm= 9.1441e-08, [s,t,w]= 0.40218 0.62067 0.15437
k= 5, residual norm= 3.3548e-15, [s,t,w]= 0.40218 0.62067 0.15437
error= 4.8759e-15
在输入点的顺序上必须小心，因为反向多线性插值只有在形状具有正体积时才是明确定义的，在三维中，选择使形状变为自身内部的点要容易得多。
norm(r)下降（或者你上面使用的是什么？）。 - Sebastian#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int equals( double a, double b, double tolerance )
{
return ( a == b ) ||
( ( a <= ( b + tolerance ) ) &&
( a >= ( b - tolerance ) ) );
}
double cross2( double x0, double y0, double x1, double y1 )
{
return x0*y1 - y0*x1;
}
int in_range( double val, double range_min, double range_max, double tol )
{
return ((val+tol) >= range_min) && ((val-tol) <= range_max);
}
/* Returns number of solutions found. If there is one valid solution, it will be put in s and t */
int inverseBilerp( double x0, double y0, double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double x, double y, double* sout, double* tout, double* s2out, double* t2out )
{
int t_valid, t2_valid;
double a = cross2( x0-x, y0-y, x0-x2, y0-y2 );
double b1 = cross2( x0-x, y0-y, x1-x3, y1-y3 );
double b2 = cross2( x1-x, y1-y, x0-x2, y0-y2 );
double c = cross2( x1-x, y1-y, x1-x3, y1-y3 );
double b = 0.5 * (b1 + b2);
double s, s2, t, t2;
double am2bpc = a-2*b+c;
/* this is how many valid s values we have */
int num_valid_s = 0;
if ( equals( am2bpc, 0, 1e-10 ) )
{
if ( equals( a-c, 0, 1e-10 ) )
{
/* Looks like the input is a line */
/* You could set s=0.5 and solve for t if you wanted to */
return 0;
}
s = a / (a-c);
if ( in_range( s, 0, 1, 1e-10 ) )
num_valid_s = 1;
}
else
{
double sqrtbsqmac = sqrt( b*b - a*c );
s = ((a-b) - sqrtbsqmac) / am2bpc;
s2 = ((a-b) + sqrtbsqmac) / am2bpc;
num_valid_s = 0;
if ( in_range( s, 0, 1, 1e-10 ) )
{
num_valid_s++;
if ( in_range( s2, 0, 1, 1e-10 ) )
num_valid_s++;
}
else
{
if ( in_range( s2, 0, 1, 1e-10 ) )
{
num_valid_s++;
s = s2;
}
}
}
if ( num_valid_s == 0 )
return 0;
t_valid = 0;
if ( num_valid_s >= 1 )
{
double tdenom_x = (1-s)*(x0-x2) + s*(x1-x3);
double tdenom_y = (1-s)*(y0-y2) + s*(y1-y3);
t_valid = 1;
if ( equals( tdenom_x, 0, 1e-10 ) && equals( tdenom_y, 0, 1e-10 ) )
{
t_valid = 0;
}
else
{
/* Choose the more robust denominator */
if ( fabs( tdenom_x ) > fabs( tdenom_y ) )
{
t = ( (1-s)*(x0-x) + s*(x1-x) ) / ( tdenom_x );
}
else
{
t = ( (1-s)*(y0-y) + s*(y1-y) ) / ( tdenom_y );
}
if ( !in_range( t, 0, 1, 1e-10 ) )
t_valid = 0;
}
}
/* Same thing for s2 and t2 */
t2_valid = 0;
if ( num_valid_s == 2 )
{
double tdenom_x = (1-s2)*(x0-x2) + s2*(x1-x3);
double tdenom_y = (1-s2)*(y0-y2) + s2*(y1-y3);
t2_valid = 1;
if ( equals( tdenom_x, 0, 1e-10 ) && equals( tdenom_y, 0, 1e-10 ) )
{
t2_valid = 0;
}
else
{
/* Choose the more robust denominator */
if ( fabs( tdenom_x ) > fabs( tdenom_y ) )
{
t2 = ( (1-s2)*(x0-x) + s2*(x1-x) ) / ( tdenom_x );
}
else
{
t2 = ( (1-s2)*(y0-y) + s2*(y1-y) ) / ( tdenom_y );
}
if ( !in_range( t2, 0, 1, 1e-10 ) )
t2_valid = 0;
}
}
/* Final cleanup */
if ( t2_valid && !t_valid )
{
s = s2;
t = t2;
t_valid = t2_valid;
t2_valid = 0;
}
/* Output */
if ( t_valid )
{
*sout = s;
*tout = t;
}
if ( t2_valid )
{
*s2out = s2;
*t2out = t2;
}
return t_valid + t2_valid;
}
void bilerp( double x0, double y0, double x1, double y1, double x2, double y2, double x3, double y3, double s, double t, double* x, double* y )
{
*x = t*(s*x3+(1-s)*x2) + (1-t)*(s*x1+(1-s)*x0);
*y = t*(s*y3+(1-s)*y2) + (1-t)*(s*y1+(1-s)*y0);
}
double randrange( double range_min, double range_max )
{
double range_width = range_max - range_min;
double rand01 = (rand() / (double)RAND_MAX);
return (rand01 * range_width) + range_min;
}
/* Returns number of failed trials */
int fuzzTestInvBilerp( int num_trials )
{
int num_failed = 0;
double x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x, y, s, t, s2, t2, orig_s, orig_t;
int num_st;
int itrial;
for ( itrial = 0; itrial < num_trials; itrial++ )
{
int failed = 0;
/* Get random positions for the corners of the quad */
x0 = randrange( -10, 10 );
y0 = randrange( -10, 10 );
x1 = randrange( -10, 10 );
y1 = randrange( -10, 10 );
x2 = randrange( -10, 10 );
y2 = randrange( -10, 10 );
x3 = randrange( -10, 10 );
y3 = randrange( -10, 10 );
/*x0 = 0, y0 = 0, x1 = 1, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 1, x3 = 1, y3 = 1;*/
/* Get random s and t */
s = randrange( 0, 1 );
t = randrange( 0, 1 );
orig_s = s;
orig_t = t;
/* bilerp to get x and y */
bilerp( x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, s, t, &x, &y );
/* invert */
num_st = inverseBilerp( x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x, y, &s, &t, &s2, &t2 );
if ( num_st == 0 )
{
failed = 1;
}
else if ( num_st == 1 )
{
if ( !(equals( orig_s, s, 1e-5 ) && equals( orig_t, t, 1e-5 )) )
failed = 1;
}
else if ( num_st == 2 )
{
if ( !((equals( orig_s, s , 1e-5 ) && equals( orig_t, t , 1e-5 )) ||
(equals( orig_s, s2, 1e-5 ) && equals( orig_t, t2, 1e-5 )) ) )
failed = 1;
}
if ( failed )
{
num_failed++;
printf("Failed trial %d\n", itrial);
}
}
return num_failed;
}
int main( int argc, char** argv )
{
int num_failed;
srand( 0 );
num_failed = fuzzTestInvBilerp( 100000000 );
printf("%d of the tests failed\n", num_failed);
getc(stdin);
return 0;
}
由于您正在处理2D图像，因此您的bilerp函数实际上是两个方程，一个用于x轴，另一个用于y轴。它们可以重写为以下形式：
x = t * s * A.x + t * B.x + s * C.x + D.x
y = t * s * A.y + t * B.y + s * C.y + D.y
位置：
A = p3 - p2 - p1 + p0
B = p2 - p0
C = p1 - p0
D = p0
这是我的实现...我猜它比tfiniga的更快
void invbilerp( float x, float y, float x00, float x01, float x10, float x11, float y00, float y01, float y10, float y11, float [] uv ){
// substition 1 ( see. derivation )
float dx0 = x01 - x00;
float dx1 = x11 - x10;
float dy0 = y01 - y00;
float dy1 = y11 - y10;
// substitution 2 ( see. derivation )
float x00x = x00 - x;
float xd = x10 - x00;
float dxd = dx1 - dx0;
float y00y = y00 - y;
float yd = y10 - y00;
float dyd = dy1 - dy0;
// solution of quadratic equations
float c = x00x*yd - y00y*xd;
float b = dx0*yd + dyd*x00x - dy0*xd - dxd*y00y;
float a = dx0*dyd - dy0*dxd;
float D2 = b*b - 4*a*c;
float D = sqrt( D2 );
float u = (-b - D)/(2*a);
// backsubstitution of "u" to obtain "v"
float v;
float denom_x = xd + u*dxd;
float denom_y = yd + u*dyd;
if( abs(denom_x)>abs(denom_y) ){ v = -( x00x + u*dx0 )/denom_x; }else{ v = -( y00y + u*dy0 )/denom_y; }
uv[0]=u;
uv[1]=v;
/*
// do you really need second solution ?
u = (-b + D)/(2*a);
denom_x = xd + u*dxd;
denom_y = yd + u*dyd;
if( abs(denom_x)>abs(denom_y) ){ v = -( x00x + u*dx0 )/denom_x; }else{ v2 = -( y00y + u*dy0 )/denom_y; }
uv[2]=u;
uv[3]=v;
*/
}
和派生
// starting from bilinear interpolation
(1-v)*( (1-u)*x00 + u*x01 ) + v*( (1-u)*x10 + u*x11 ) - x
(1-v)*( (1-u)*y00 + u*y01 ) + v*( (1-u)*y10 + u*y11 ) - y
substition 1:
dx0 = x01 - x00
dx1 = x11 - x10
dy0 = y01 - y00
dy1 = y11 - y10
we get:
(1-v) * ( x00 + u*dx0 ) + v * ( x10 + u*dx1 ) - x = 0
(1-v) * ( y00 + u*dy0 ) + v * ( y10 + u*dy1 ) - y = 0
we are trying to extract "v" out
x00 + u*dx0 + v*( x10 - x00 + u*( dx1 - dx0 ) ) - x = 0
y00 + u*dy0 + v*( y10 - y00 + u*( dy1 - dy0 ) ) - y = 0
substition 2:
x00x = x00 - x
xd = x10 - x00
dxd = dx1 - dx0
y00y = y00 - y
yd = y10 - y00
dyd = dy1 - dy0
// much nicer
x00x + u*dx0 + v*( xd + u*dxd ) = 0
y00x + u*dy0 + v*( yd + u*dyd ) = 0
// this equations for "v" are used for back substition
v = -( x00x + u*dx0 ) / ( xd + u*dxd )
v = -( y00x + u*dy0 ) / ( yd + u*dyd )
// but for now, we eliminate "v" to get one eqution for "u"
( x00x + u*dx0 ) / ( xd + u*dxd ) = ( y00y + u*dy0 ) / ( yd + u*dyd )
put denominators to other side
( x00x + u*dx0 ) * ( yd + u*dyd ) = ( y00y + u*dy0 ) * ( xd + u*dxd )
x00x*yd + u*( dx0*yd + dyd*x00x ) + u^2* dx0*dyd = y00y*xd + u*( dy0*xd + dxd*y00y ) + u^2* dy0*dxd
// which is quadratic equation with these coefficients
c = x00x*yd - y00y*xd
b = dx0*yd + dyd*x00x - dy0*xd - dxd*y00y
a = dx0*dyd - dy0*dxd
denom_x和denom_y未定义，而v2应该是v。 - user202729如果你只有一个p的值，该值在正方形的四个角落的最小值和最大值之间，通常不可能找到一个单一的解(s,t)，使得双线性插值器提供给你这个值。
通常情况下，在正方形内有无限多个解(s,t)。它们沿着一个曲线（双曲线）路径穿过正方形。
如果您的函数是矢量值函数，因此您在正方形中的某个未知点上具有两个已知值？如果在正方形的每个角落处都已知两个参数的值，则可能存在一个解，但不能保证。请记住，我们可以将其视为两个单独的、独立的问题。每个问题的解将沿着正方形内的双曲线等高线。如果这对等高线在正方形内相交，则存在解。如果它们不相交，则不存在解。
您还问是否存在解决该问题的简单公式。抱歉，我没有看到真正的答案。就像我说的，这些曲线是双曲线。
一种解决方法是切换到另一种插值方法。因此，不使用双线性插值，而是将正方形分成一对三角形。在每个三角形内部，我们现在可以使用真正的线性插值。因此，现在我们可以解决每个三角形中的2个未知数的线性方程组。除了极少数情况下对应的分段线性等高线恰好重合之外，每个三角形可能有一个解。
给定这两个端点，我们可以通过将它们代入线的方程并解出a0和b0作为s的函数来确定线的族。设置一个s值即可得到特定线的公式。现在我们需要找出这个族中哪条线与我们的点p（x，y）相交。只需将p（x，y）的坐标代入我们的线公式，然后解出目标s值即可。
同样的方法也可以用来找到t。
如果p是一个二维点，那么你可以轻松地得到它。在这种情况下，S是T处四边形总宽度的分数部分，T同样是S处四边形总高度的分数部分。
然而，如果p是一个标量，就不一定可能，因为双线性插值函数不一定是单调的。