三线性插值

Question

我正在尝试编写三线性插值函数，但是在实现时遇到了一些麻烦。

首先我们有一个一维插值：

float interpolate1D(float v1, float v2, float x){
    return v1*(1-x) + v2*x;
}

然后是2D插值：

float interpolate2D(float v1, float v2, float v3, float v4, float x, float y){

    float s = interpolate1D(v1, v2, x);
    float t = interpolate1D(v3, v4, x);
    return interpolate1D(s, t, y);
}

但是，一旦涉及到3D，事情就变得棘手了。我无法完全弄清楚如何使用2D插值函数实现3D插值器。我不知道为什么会有这种心理障碍，因为它应该只是一个简单的扩展，但我想所有不同的变量都在干扰我。因此，我已经开始编写下面的函数，但它还不完整，我需要帮助完成它。

float interpolate3D(v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, float x, float y, float z){


     float s = interpolate2D(v1, v2, v3, v4, x, y);
     float t = interpolate2D(v5, v6, v7, v7, x, z);

     //What do I do next?
}

- user1855952

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你现在在xy和xz平面上有投影，因此这些平面的交点只留下一个自由度：在x方向上。所以我猜你应该使用interpolate1D(s, t, x)？ - Vincent van der Weele

但我觉得我需要对“立方体”的6个面进行插值，然后我会得到6个值，s，t，u，w，x，y。从那里开始，我仍然感到迷茫... - user1855952

我对你的方法有点困惑。如果你插值两个二维向量，难道不应该期望得到一个二维向量作为结果吗？而在三维中，你会期望得到一个三维向量作为结果吗？ - Vincent van der Weele

Answer 1

你的代码有两个问题——v7出现了两次。

让我为你详细解释：

float interpolate3D(v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, float x, float y, float z)
{
    float s = interpolate2D(v1, v2, v3, v4, x, y);
    float t = interpolate2D(v5, v6, v7, v8, x, y);
    return interpolate1D(s, t, z);
}

与 interpolate2D() 相比，将其与以下内容进行比较：

• 通过“较低维度”（2D的1D，1D的2D）两次插值，使用相同的变量（1D为x，2D为（x，y））
• 使用剩余变量（2D为y，3D为z）插值中间结果1D。

此外，请注意 - 我们不知道您如何放置v1到v8。 但是，如果您正确执行此操作，则此函数将起作用。

- Tomasz Gandor

Answer 2

线性插值不适用于面（并非每个超立方体都有面）。它是对顶点进行操作，成对地进行插值。

你可以将nD插值分为两部分： 1. 对输入顶点对进行一系列的1D插值。 2. 对第一部分中插值后的值进行(n-1)D插值。

例如，2D插值是在2个输入顶点对上进行1D插值，然后在2个结果上进行1D插值。3D插值是在4个输入顶点对上进行1D插值，然后在4个结果上进行2D插值。4D插值是在8个输入顶点对上进行1D插值，然后在8个结果上进行3D插值。

基本上，第一部分将插值问题从nD降低到等效的(n-1)D插值问题；第二部分执行该插值。

- Sneftel

Answer 3

一个非常好的了解三线性插值的来源可以在以下链接中找到： https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_interpolation 它提到了以下内容：

In practice, a trilinear interpolation is identical to two bilinear interpolation combined with a linear interpolation:

C = linear(bilinear(C_(000),C_(010),C_(100),C_(110)),
           bilinear(C_(001),C_(011),C_(101),C_(111)))

- DG44

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这正是OP已经做过的！难道你没看到吗？ - Engineer