数学计算一个简单的图形管道

Question

数学计算一个简单的图形管道

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我试图理解并完成从 3D 场景描述（如 VRML）渲染简单 2D 图像所需的基本数学计算。是否有一个好的例子展示了所需的步骤，例如模型变换（从物体坐标到世界坐标），视图变换（从世界坐标到视图坐标），计算用于光照的顶点法线，裁剪，计算在视锥体内的对象的屏幕坐标以及创建 2D 投影来计算具有颜色的各个像素。

- Hans Sperker

你需要什么样的示例？是一个为显式场景执行所有这些步骤的示例吗？还是在一个明确的编程框架中？或者是像你发布的那些步骤列表一样的示例？ - MvG

我正在寻找一个明确的场景示例，展示所有计算并解释数学。我想要理解渲染的数学步骤 :-) - Hans Sperker

POV光线追踪器是开源的。 - Felix Castor

@FelixCastor - 感谢您的回复，但我正在寻找数学计算和示例，而不是软件 :-) - Hans Sperker

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这是针对机器人的，但它使用了同质变换矩阵的相同原理。几何变换第98页及以后。可能会有用。 - Felix Castor

@jstr 给我的回答添加了图片。 - Spektre

2个回答

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你可以查看书籍《计算机图形学原理与实践-第三版》Hughes等人的第15章。该章节推导了射线投射和光栅化算法，然后构建了软件光线追踪器、软件光栅化器和硬件加速光栅化渲染器的完整源代码。

- Alessandro Jacopson

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可以查看英文原文，
原文链接

- Spektre · Accepted Answer

我习惯于使用OpenGL风格的渲染数学，因此我坚持使用它（所有的渲染几乎都使用相同的数学）

首先解释一些术语：

变换矩阵

表示3D空间中的坐标系

    double m[16]; // it is 4x4 matrix stored as 1 dimensional array for speed
    m[0]=xx; m[4]=yx; m[ 8]=zx; m[12]=x0;
    m[1]=xy; m[5]=yy; m[ 9]=zy; m[13]=y0;
    m[2]=xz; m[6]=yz; m[10]=zz; m[14]=z0;
    m[3]= 0; m[7]= 0; m[11]= 0; m[15]= 1;

其中：

X(xx,xy,xz) 是GCS（全局坐标系）中X轴的单位向量
Y(yx,yy,yz) 是GCS中Y轴的单位向量
Z(zx,zy,zz) 是GCS中Z轴的单位向量
P(x0,y0,z0) 是在GCS中表示的坐标系的原点

变换矩阵用于在GCS和LCS（本地坐标系）之间转换坐标

GCS -> LCS：Al = Ag * m;
GCS <- LCS：Ag = Al * (m^-1);
Al（x，y，z，w = 1）是LCS中的3D点...在齐次坐标下
Ag（x，y，z，w = 1）是GCS中的3D点...在齐次坐标下

添加齐次坐标w=1，以便我们可以将3D向量乘以4x4矩阵

m转换矩阵
m^-1逆转换矩阵

在大多数情况下，m正交，这意味着X，Y，Z向量相互垂直且具有单位大小，这可用于在旋转、平移等操作后恢复矩阵的准确性...

更多信息请参见了解4x4齐次变换矩阵

渲染矩阵

通常使用以下矩阵：

model - 表示实际渲染对象的坐标系
view - 表示相机坐标系统（Z轴是视图方向）
modelview - 模型和视图相乘的结果
normal - 与modelview相同，但用于法线向量计算时x0,y0,z0=0
texture - 操纵纹理坐标以实现纹理动画和效果，通常为单位矩阵
projection - 表示相机视图的投影（透视，正交等），不应包括任何旋转或平移，它更像相机传感器校准（否则雾化和其他效果将失败...）

渲染数学

要呈现3D场景，您需要像绘制2D纹理三角形之类的2D呈现例程。渲染会将3D场景数据转换为2D并呈现出来。还有更多的技术，但最常见的是使用边界模型表示 + 边界呈现（仅表面）。通过投影（正交或透视）和Z缓冲区或Z排序来完成3D->2D转换。

Z缓冲区很容易且本地化在现今计算机图形硬件中
Z排序由CPU执行，因此速度较慢且需要额外的内存，但对于正确的透明表面渲染是必要的。

因此，流水线是这样的：

从模型获取实际渲染数据

顶点 v
法向量 n
纹理坐标t
颜色，雾坐标等...

将其转换为适当的空间

v = projection * view * model * v...相机空间+投影
n = normal * n ...全局空间
t = texture * t ...纹理空间

将数据剪辑到屏幕上

这一步不是必要的，但可以提高速度并且通常在这里进行面剔除。如果呈现的“三角形”的法向量相反，则忽略该多边形绕序规则。

渲染3D/2D数据

屏幕渲染只使用v.x,v.y坐标，而v.z用于z-buffer测试/值，透视投影需要进行透视除法。

v.x/=v.z,vy/=v.z

Z-buffer的工作原理如下: Z-buffer （zed）是与屏幕（scr）大小（分辨率）相同的2D数组。任何像素scr[y][x]仅在if (zed[y][x]>=z)时呈现，此时scr[y][x]=color; zed[y][x]=z; if条件可以不同（可更改）。

如果使用三角形或更高级别的基元进行渲染，则将得到的2D基元转换为像素，这个过程称为光栅化，例如：

填充三角形算法

以下是其外观：

3D rendering

[注]

变换矩阵是可乘的，因此如果您需要通过M矩阵转换N点，则可以创建单个matrix = m1*m2*...mM并仅通过此结果的matrix转换N点以提高速度。有时会使用3x3变换矩阵+平移向量代替4x4矩阵。在某些情况下，这样更快，但您不能很容易地将多个变换相乘。对于变换矩阵操作，请查找基本操作，例如旋转或平移，还有一些用于LCS内部旋转的矩阵，这些对于人类控制输入更合适，但这些不是渲染器（如OpenGL或DirectX）的本土矩阵。（因为它们使用逆矩阵）

现在所有上述内容都是用于标准多边形渲染（对象表面边界表示）。还有其他渲染器，如体积渲染或（背部）光线追踪器和混合方法。场景也可以具有任意维度，而不仅仅是3D。这里有关于这些主题的相关问答：