似乎是一个简单的图形问题

Question

目前，我有一个控件需要添加各种锐度（或灵敏度）的功能。最好通过以下图片进行说明： Graph http://img87.imageshack.us/img87/7886/control.png 如您所见，我有X和Y轴，它们都有任意的100个限制-这应该足以解释。目前，我的控件是红线（线性行为），但我想添加其他3条曲线（或更多）。即，如果控件更灵敏，则设置将忽略线性设置并选择三条曲线之一。起点始终为0，终点始终为100。

我知道指数太陡峭，但似乎找不到前进的方式。请您有什么建议吗？

- user68528

---

为什么加上C#标签？虽然您的解决方案最终可能是C#，但我在问题中看不出任何与C#有关的内容。因此将去除该标签... - abelenky

请解释您想要的行为（除起点/终点之外）。这是指数形式的吗？多项式形式的？对数形式的？看起来在0附近的斜率是线性的，然后根据需要向上缩放以满足终点。 - Jason S

...或者是线性和某种插值的结合。 - Jason S

为了方便其他浏览该网站的人，您可能想将标题更改为类似于“用于调整灵敏度的好数学函数是什么？”之类的内容。如果问题确实得到解答，请将其标记为已回答。 :) - Paul Hooper

Answer 1

您所描绘的曲线很像伽玛校正曲线。其想法是，范围的最小值和最大值保持与输入相同，但中间部分被弯曲，就像你在图表中所示的一样（我要注意的是，这并不是从余弦实现中得到的圆弧）。

以图形方式表示，如下所示： （来源： wikimedia.org）

因此，以此为灵感，以下是数学公式...

如果您的x值范围从0到1，则该函数非常简单：

y = f(x, gamma) = x ^ gamma

添加一个xmax值用于缩放（例如x = 0到100），函数变为：

y = f(x, gamma) = ((x / xmax) ^ gamma) * xmax

或者，另一种选择是：

y = f(x, gamma) = (x ^ gamma) / (xmax ^ (gamma - 1))

如果您想添加非零的xmin，可以进一步操作。当gamma为1时，该线始终完全线性（y = x）。如果x小于1，则曲线向上弯曲。如果x大于1，则曲线向下弯曲。gamma的倒数值将将该值转换回原始值（x = f（y，1 / g）= f（f（x，g），1 / g））。根据自己的口味和应用需求调整gamma的值即可。因为您想要为用户提供多个“灵敏度增强”选项，所以您可能希望在线性刻度上为用户提供选择，例如从-4（最不敏感）到0（无变化）到4（最敏感），并使用幂函数缩放内部gamma值。换句话说，让用户选择（-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4），但将其转换为gamma值（5.06、3.38、2.25、1.50、1.00、0.67、0.44、0.30、0.20）。在C#中编写代码可能如下所示：

public class SensitivityAdjuster {
    public SensitivityAdjuster() { }
    public SensitivityAdjuster(int level) {
        SetSensitivityLevel(level);
    }
    private double _Gamma = 1.0;
    public void SetSensitivityLevel(int level) {
        _Gamma = Math.Pow(1.5, level);
    }
    public double Adjust(double x) {
        return (Math.Pow((x / 100), _Gamma) * 100);
    }
}

要使用它，创建一个新的SensitivityAdjuster，根据用户偏好设置灵敏度级别（可以使用构造函数或方法，-4到4可能是合理的级别值），然后调用Adjust(x)以获取调整后的输出值。如果您想要更宽或更窄的合理级别范围，则可以在SetSensitivityLevels方法中减少或增加1.5的值。当然，100代表您的最大x值。

- Paul Hooper

---

这是我的解决方案（至少对我来说是这样）。我尝试了这个方法，它实现了我需要的一切。Paul，我无法感谢你，我一直像只“追逐自己尾巴”的狗一样在这个问题上纠结。再次感谢！ - user68528

Answer 2

我提出一个简单的公式，（我相信）可以满足您的需求。为了得到一个完整的“四分之一圆形”，这是您的极端情况，您可以使用(1-cos((x*pi)/(2*100)))*100。

我建议您在y=x和y=(1-cos((x*pi)/(2*100)))*100之间取加权平均值。例如，要非常接近于线性（99%线性），请使用：

y = 0.99*x + 0.01*[(1-cos((x*pi)/(2*100)))*100]

更一般地说，假设线性程度为L，且在区间[0,1]内，则您的公式将为：

y = L*x + (1-L)*[(1-cos((x*pi)/(2*100)))*100]

编辑：我将cos(x/100)更改为cos((x*pi)/(2*100))，因为为了使cos结果在[1,0]范围内，X应该在[0，pi/2]范围内而不是[0，1]，对于最初的错误表示抱歉。

- Roee Adler

---

我喜欢简单的公式。明天我一定会尝试这个。非常感谢！ - user68528

Answer 3

我支持Rax Olgud的总体想法，但有一个修改：

y = alpha * x + (1-alpha)*(f(x/100)*100)

alt text http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP4501967d41e1aga1b3i00004bdeci2b6be2a59b?MSPStoreType=image/gif&s=6

其中f(0) = 0，f(1) = 1，f(x)是超线性的，但我不知道这个“四分之一圆”想法来自哪里，或者为什么1-cos(x)会是一个好选择。

我建议使用f(x) = x^k，其中k = 2、3、4、5，无论α等于多少，都可以给您所需的陡峭程度。选择一个固定的k值，然后变化α以选择您特定的曲线。

- Jason S

---

我相信Rax Olgud选择了四分之一圆和一个圆形函数，因为圆形函数在靠近一个轴时移动得比较慢，在靠近另一个轴时移动得最快。 - Nosredna

Answer 4

你可能正在寻找类似于多项式插值的东西。二次/三次/四次插值应该能够给你展示在问题中的曲线类型。你展示的三种曲线之间的差异可能只需通过调整系数（间接决定陡峭程度）来实现。

- Noldorin

---

我已经看过了插值，就像曲线拟合一样，这是一个你试图将几个或更多离散点联系在一起的情况。然后使用m = x变化量/ y变化量来区分。我的情况很简单，我要么允许用户输入一个变量，要么从包含陡峭、平均和温和（我知道这些名字很糟糕）的枚举中选择，以允许他们选择曲线的陡峭程度，就像关闭汽车牵引控制一样，并且不进行插值，因为目前没有点。我需要生成它们。 - user68528

谢谢，我会尝试这个和AakashM的建议。 - user68528

Answer 5

当你从1开始变化p时，x从0到1的y = x^p图将会做你想要的事情（这将给出红线）。随着p的增加，曲线将被越来越“推入”。p不必是整数。

（你需要进行缩放以获得0到100，但我相信你可以解决这个问题）

- AakashM

---

x^p，其中p>1，在0附近给出斜率为0。这看起来不像你绘制的曲线。 - Jason S

Answer 6

对于这样的问题，我通常会从曲线上获取几个点，并将其通过曲线拟合程序进行处理。市面上有很多这样的程序。这里有一个带有7天免费试用的程序。 尝试不同的模型可以让我学到很多东西。通常情况下，你可以得到一个相当简单的表达式来接近你的曲线。

- Nosredna