图像高斯滤波的最佳sigma值是多少？

Question

在对图像应用高斯模糊时，通常需要指定一个参数 sigma（例如 Matlab 和 ImageJ）。

如何确定 sigma 的值？有没有数学方法来找到最佳的 sigma 值？在我的情况下，我有一些在图像中与背景相比较亮的物体，我需要通过计算找到它们。我将应用高斯滤波器来使这些物体的中心更加明亮，这有助于更容易地找到它们。那么，如何确定这个问题的最佳 sigma 值呢？

- Tony Stark

Answer 1

针对您的情况，没有一个公式可以为您确定最佳的sigma值; 最优的sigma值将取决于图像因素-主要是图像的分辨率和其中对象的大小（以像素为单位）。

此外，请注意，高斯滤波器实际上并不是用来增强任何内容的；您可能需要研究最大对比度技术-听起来像是一些简单的直方图拉伸技术可以很好地解决这个问题。

编辑： 更多解释-sigma基本上控制着您的核函数要变得多“胖”；更高的sigma值会使模糊半径更大。由于您正在处理图像，更大的sigma还会迫使您使用较大的核矩阵来捕获足够的函数能量。对于您的特定情况，您希望您的核足够大以覆盖大部分对象（以便它们被模糊），但不能太大，以至于它开始同时重叠多个相邻对象-因此，物体分离也是一个重要因素。

由于您提到了MATLAB-您可以使用fspecial('gaussian', hsize, sigma)函数查看具有不同参数的各种高斯核。其中hsize是核的大小，sigma是sigma值。尝试改变这些参数以查看其如何变化。

- tzaman

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@tzaman：你能详细说明一下最佳sigma如何取决于图像的分辨率和物体在像素中的大小吗？或者如果可以的话，给我指点一下读物。那正是我要找的。另外，我说错了，我想说的是我希望我的物体中心相对于其他部分要更亮些。 - Tony Stark

@hatorade：我扩展了我的回答，希望它能澄清事情。 - tzaman

@tzaman：在一个网站上（http://imaging.mrc-cbu.cam.ac.uk/imaging/PrinciplesSmoothing）我读到 Full Width at Half Maximum (FWHM) 的测量有一个方程。这个概念是否适用于核函数？也就是说，在 ImageJ 或 Matlab 中，核函数的 "FWHM" 是否与 sigma 以相同的方式相关？我之所以问这个问题，是因为通常参数是核函数的尺寸和 sigma，但我一直在读到 sigma 影响核函数的大小... - Tony Stark

@hatorade：是的-本质上，FWHM是衡量函数“展开”的一种方式；因此，对于更高的sigma，它将更大。例如，您可以使用它来帮助确定给定内核的矩阵大小应该是多少。虽然在某种意义上，您可以单独选择维度和sigma，但实际上，维度必须与sigma相结合才有意义-它需要足够大以保留曲线的形状；如果您截断得太多，它就不再是高斯模糊，而更像是简单的平均滤波器。 - tzaman

@tzaman：没错。你知道正态分布曲线底部宽度的方程式吗？而不是在半最大值处的宽度？本质上，我知道我想要核的大小，但我不知道如何从中计算出sigma（因此从核大小-> sigma而不是从sigma-> kernel size）。 - Tony Stark

@hatorade：高斯函数本质上是无限的，尽管随着距离的增加它们会下降到可以忽略的值，因此基底宽度没有“极限”。两倍的FWHM或类似的东西听起来很合理。此外，即使在特定的内核大小下，您也可以有意义地改变sigma（对于任何给定的内核，没有“最佳sigma”）-将其视为将高斯滤波器乘以这些维度的框滤波器。 - tzaman

Answer 2

我通常使用这个公式作为经验法则，如果k是内核的大小，那么sigma=(k-1)/6。这是因为高斯概率密度函数 99百分位点长度为 6sigma。

- Operator77

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这是正确的，但我建议采用相反的方法：首先确定最佳的sigma值，然后找到内核大小，使其包含6 sigma。这是因为内核大小是离散量（以2的步长递增），而sigma是连续变量，因此可以进行更精细的调整。k=2*ceil(3*sigma)+1。 - Cris Luengo

@CrisLuengo 很有道理。 - Operator77

Answer 3

你需要找到一个函数 G 的最小值/最大值，使得 G（X，sigma）成立，其中 X 是您的观察集合（在这种情况下，是您图像的灰度值）。此函数可以是任何维持图像强度“顺序”的东西，例如可以使用图像的一阶导数（作为G）来实现。

fil = fspecial('sobel');
im = imfilter(I,fil);
imagesc(im);
colormap = gray;

这个操作可以给你图像的一阶导数结果，现在你想通过最大化G(X,sigma)来找到最大的sigma值，这意味着你需要尝试几个sigma值（比如按递增顺序），直到找到一个使得G最大的sigma值。这也可以用二阶导数来实现。

- matlabit

Answer 4

假设内核的中心值为1，保证外层值小于一个限制（例如1/100）的维数如下：

double limit = 1.0 / 100.0;
size = static_cast<int>(2 * std::ceil(sqrt(-2.0 * sigma * sigma * log(limit))));
if (size % 2 == 0)
{
    size++;
}       

- Pak