将线性刻度转换为对数刻度

Question

我有一个线性刻度尺，范围从0.1到10，变化增量为0.1：
  |----------[]----------|
0.1         5.0         10

然而，输出需要是：
  |----------[]----------|
0.1         1.0         10 （对数刻度）

我正在尝试找出将5（例如）转换为1.0所需的公式。因此，如果刻度盘在1.0和10之间移动一半（线性刻度上的真实值为7.5），则结果对数值是多少？我已经思考了几个小时，但是我已经好几年没有接触这种数学了，所以我真的很迷茫。我理解log₁₀X=10^y的基本概念，但仅限于此。

5.0的伪值将变为10（或10的幂），而10的伪值将为10的10次方。那么如何计算7.5的伪值和其结果的对数值？

如果需要其他信息，请告诉我。

感谢提供任何帮助；这难住了我。

- TurdPile

Answer 1

符号说明

与数学和编程惯例相同，“log”函数被视为以e为底的对数函数。“exp”函数是指数函数。请记住，这些函数是互为反函数：

exp：ℝ → ℝ⁺

log：ℝ⁺ → ℝ

解决方案

这里只需解一个简单的方程：

y = a exp bx

通过x=0.1，y=0.1和x=10，y=10两点来解出a和b。

注意，y₁/y₂的比值由以下公式给出：

y₁/y₂ = (a exp bx₁) / (a exp bx₂) = exp b(x₁-x₂)

这将帮助您解出b。

b = log (y₁/y₂) / (x₁-x₂)

其余部分很容易。

b = log (10 / 0.1) / (10 - 0.1) = 20/99 log 10 ≈ 0.46516870565536284 a = y₁ / exp bx₁ ≈ 0.09545484566618341

更多关于符号的说明

在您的职业生涯中，您会发现有些人使用对数函数使用自然底数e、底数为10、甚至是底数为2的约定。这并不意味着任何人是对还是错。这只是一种符号约定，每个人都可以自由选择他们喜欢的符号约定。

在数学和计算机编程中，惯例是使用自然对数，使用自然对数简化了符号，这就是我选择它的原因。这与Google提供的计算器和TI-84等计算器使用的约定不同，但是，计算器是为工程师准备的，而工程师使用的符号与数学家和程序员不同。

以下编程语言在标准库中包含自然对数函数。

• C语言 log() (包括C++)

• Java Math.log()

• JavaScript Math.log()

• Python math.log() (包括Numpy)

• Fortran log()

• C# Math.Log()

• R

• Maxima (严格来说是一个CAS而不是一种编程语言)

• Scheme的 log

• Lisp的 log

事实上，我想不出有哪一种编程语言中的 log() 不是以常数 e 为底的对数。我相信这样的编程语言是存在的。

- Dietrich Epp

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然而，只有一个数字被用来推导。那就是线性刻度上的值。0.1到10是脚本所看到的物理值。它需要将相应的值转换为其对数对应物。例如：5将被转换为1。如果您需要查看示例，我可以将其链接给您。 - TurdPile

没错。用户错误地说5.0应该完全等于1，因为5不是10和.1的确切中间。技术上来说，5.05才是确切的中间值（10.1/2）。但无论如何，如果我认为不会有误差，那就太愚蠢了。 - TurdPile

所以让我理解一下：在我的特定情况下，b是一个静态值。X和Y是线性比例尺的最小/最大值，我解出a以给出正确的对数等效值？ - TurdPile

你在 b 的方程式上打错字了吗？它等于0.202循环。 - TurdPile

你能用你的例子解决5.05吗？如果我看到一个例子做完，我会更快理解。 - TurdPile

Answer 2

我知道这个回答晚了六年，但它可能会对其他人有所帮助。

给定一个值从x0到x1的线性刻度和一个值从y0到y1的对数刻度，x和y之间（无论是正向或反向）的映射由方程1中显示的关系给出：

 x - x0    log(y) - log(y0)
------- = -----------------      (1)
x1 - x0   log(y1) - log(y0)

其中，

x0 < x1
{ x | x0 <= x <= x1 }

y0 < y1
{ y | y0 <= y <= y1 }
y1/y0 != 1   ; i.e., log(y1) - log(y0) != 0
y0, y1, y != 0

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例子1

线性x轴上的值范围从10到12，对数y轴上的值范围从300到3000。给定y=1000，求x是多少？

重新排列方程1以解出'x'，得到：

                 log(y) - log(y0)
x = (x1 - x0) * ----------------- + x0
                log(y1) - log(y0)

                log(1000) - log(300)
  = (12 - 10) * -------------------- + 10
                log(3000) - log(300)

  ≈ 11

根据您提供的数据，线性x轴上的数值范围从0.1到10，对数y轴上的数值范围也是从0.1到10，底数为10。如果x=7.5，那么y是多少？

通过重排方程1来解出'y'的结果，得到：

          x - x0
log(y) = ------- * (log(y1) - log(y0)) + log(y0)
         x1 - x0

        /  x - x0                                \
y = 10^|  ------- * (log(y1) - log(y0)) + log(y0) |
        \ x1 - x0                                /

        / 7.5 - 0.1                                  \
  = 10^|  --------- * (log(10) - log(0.1)) + log(0.1) |
        \  10 - 0.1                                  /

        / 7.5 - 0.1                    \
  = 10^|  --------- * (1 - (-1)) + (-1) |
        \  10 - 0.1                    /

  ≈ 3.13

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:: 编辑 (2020年10月11日) ::

值得一提的是，数字基数“n”可以是任何实数正数。上面的示例使用了以10为底的对数，但对数的底数可以是2、13、e、pi等。这里有一个我创建的电子表格，可以计算任何实数正数基数的对数运算。 “解决方案”单元格已经着黄色和有粗边框标志。在这些图中，我随机选择了以n=13为底数的对数运算——即z = log₁₃(y)。

图1. 电子表格数值。

图2. 电子表格公式。

图3. X和Y值的映射。

- Jim Fischer

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在示例2中，您使用了错误的幂基数。我认为应该是“e”。 - Lynx

@Lynx，请按照示例2中所示的计算方法进行尝试。该方法适用于任何实数正数基数，如n = 10、2、e等。另请参阅我在2020年10月11日添加到答案中的信息。 - Jim Fischer

你是对的，我只是假设在你的计算中使用了loge（x）函数，因此幂的基数也应该是“e”。我正确吗？ - Lynx

@Lynx：记住的重要事情是：选择任何方便的对数基数“n”，并在计算中始终使用该基数。对于某些正实数'n'：log_n(y)=z且n^z=y。（注：log_n(y)不意味着ln(y)。）当欧拉常数'e'被选为对数基数（n:=e）时，就是在使用所谓的“自然”对数：log_e(y)=ln(y)=x且exp(x)=e^x=y。在我的例子中，如果我使用了ln(y)=z，那么您正确，我必须使用exp(z)=e^z=y来从z值中恢复y值。 - Jim Fischer

这是一个很好的答案。有一个问题：你如何确定选择哪个基数？ - jash101

@jash101，对数底数可以是任何正实数“n”。在单元格B6和D13中计算的结果值对于所有对数基数n都是相同的（11.0和3.13）。例如，如果我选择对数基数n = 10，则单元格B6和D13中的计算值仍将为11.0和3.13。同样适用于n = π或n = e。唯一的限制是在整个计算过程中使用相同的对数底数n。 - Jim Fischer