圆上相交问题：由圆内部起点的向量在圆上的交点

Question

我有一个圆。圆内有一个点。我有一个以该点为起点的向量。我想知道这个向量与圆相交的哪个点。下面是示意图： http://n4te.com/temp/circle.png http://n4te.com/temp/circle.png 红点是我要找出的那个点。

我知道这些信息：圆的中心，向量的起点和方向。

我知道这很基础，但我还是有困难。大部分搜索结果都是关于线和圆碰撞的，虽然相关但并不完全相同。谢谢您提供的任何帮助！

- NateS

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很抱歉，链接的图片已经消失了。它只是一个圆圈，里面有一个起点在圆圈内部并与圆相交的向量。 - NateS

Answer 1

初等向量代数。

O — center of circle (vector)
r — its radius       (scalar)
A — origin of ray    (vector)
k — direction of ray (vector)

解决 (A + kt - O)² = r² 的标量 t，选择正根，A + kt 是您的点。

进一步解释： . 是点积，对于向量的 ² 是向量与自身的点积。展开左侧。

(A + kt - O)² = (A - O)² + 2(k.(A - O))t + k²t².

这个二次方程为k²t² + 2(k.(A - O))t + (A - O)² - r² = 0。用你的变量表示，它变成了(rayVX² + rayVY²)t² + 2(rayVX(rayX - circleX) + rayVY(rayY - circleY))t + (rayX - circleX)² + (rayY - circleY)² - r² = 0。

- Anton Tykhyy

Answer 2

感谢Anton Tykhyy提供的详细答案。以下是Java代码的结果:

float xDiff = rayX - circleX;
float yDiff = rayY - circleY;
float a = rayVX * rayVX + rayVY * rayVY;
float b = 2 * (rayVX * (rayX - circleX) + rayVY * (rayY - circleY));
float c = xDiff * xDiff + yDiff * yDiff - r * r;
float disc = b * b - 4 * a * c;
if (disc >= 0) {
    float t = (-b + (float)Math.sqrt(disc)) / (2 * a);
    float x = rayX + rayVX * t;
    float y = rayY + rayVY * t;
    // Do something with point.
}

- NateS