最简单的多通道盲卷积问题：如何解决？

Question

最近我开始学习反卷积算法，遇到了以下的采集模型：

其中f是原始（潜在）图像，g是输入（观察到的）图像，h是点扩散函数（退化核），n是随机加性噪声，*是卷积运算符。 如果我们知道g和h，那么我们可以使用Richardson-Lucy算法恢复f：

其中，(W,H)是h的矩形支撑的大小，乘法和除法是逐点进行的。在C++中编码相当简单，所以我就这么做了。结果发现近似于f，而i小于某个m时开始迅速衰减。因此，算法只需要在这个m处停止——这是最令人满意的迭代。

如果点扩散函数g也未知，则称问题为盲问题，并可以应用Richardson-Lucy算法的修改版：

对于f的初始猜测，我们可以像之前一样采用g，而对于h的初始猜测，我们可以采用平凡的PSF或任何简单形式，以使其看起来类似于观察到的图像退化。这个算法在模拟数据上也表现得非常好。

现在，我考虑具有以下获取模型的多帧盲反卷积问题：

有没有一种方法可以开发Richardson-Lucy算法来解决这个公式中的问题？ 如果没有，是否有其他迭代过程可以恢复f，而不会比以前的更复杂？

- Glinka

Answer 1

根据您的获取模型，潜在图像(f)保持不变，而观察到的图像由于不同的psf和噪声模型而不同。从某种角度来看，这是一个运动模糊问题，其中锐利且无噪声的图像(f)被运动模糊核所破坏。由于这是一个不适定问题，在大多数文献中，通过估计模糊核和潜在图像来迭代地解决它。解决此问题的方式完全取决于您的目标函数。例如，在一些论文中，IRLS用于估计模糊核。您可以在这方面找到很多文献。

如果您想使用Richardson Lucy盲去卷积，则仅对一个帧使用它。

一种策略可以是在恢复f时，在每次迭代中为每个g（观察到的图像）的贡献分配不同的权重。您可以将不同的权重纳入目标函数中或根据估计的模糊核计算它们。

- igweyn

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谢谢您的回答。您能否详细说明一下您的第二个建议？ - Glinka

Answer 2

有没有一种方法可以开发Richardson-Lucy算法来解决这个问题？我不是这个领域的专家，但我认为不存在这样构建算法的方法，至少不是直接的。我的理由是这样的：你描述的第一个问题（当psf已知时）由于噪声的随机性和图像边缘附近卷积信息的丢失已经是不适定的了。你列表中的第二个问题——单通道盲反卷积——是前一个问题的扩展。在这种情况下，它是欠定的，因此不适定性扩大了，因此自然而然地采用了解决第一个问题的方法来解决这个问题的方法。现在，当我们考虑多通道盲反卷积公式时，我们向我们的先前模型添加了一堆额外的信息，因此问题从欠定到过定。这是另一种不适定性，因此需要不同的解决方法。

是否有其他迭代过程可以恢复f，而不比之前的过程更加复杂？

我可以推荐Šroubek和Milanfar在[1]中介绍的算法。 我不确定在你的看法中它是否更加复杂，但它是目前最新和最强大的算法之一。 问题的表述与您所写的完全相同。 该算法以K>1个图像、psf大小上限L和四个调整参数：alpha、beta、gamma、delta作为输入。例如，要指定gamma，您需要估计输入图像上的噪声方差并取最大方差var，然后gamma = 1/var。该算法使用交替最小化解决以下优化问题：

其中，F是数据保真度项，Q和R分别是图像和模糊的正则化项。

有关算法的详细分析，请参见[1]，有关不同去卷积公式及其解决方案的集合，请参见[2]。希望对您有所帮助。

参考文献：

1. Filip Šroubek，Peyman Milanfar。——通过快速交替最小化实现鲁棒的多通道盲去卷积。——IEEE图像处理期刊，第21卷，第4期，2012年4月。

2. Patrizio Campisi，Karen Egiazarian。——盲图像去卷积：理论与应用。

- Ilie White

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谢谢，我会研究一下。 - Glinka