使用起点、终点、中心点和轴计算弧长

Question

我需要使用一些数据计算弧长：

- 起点坐标为 (Xs, Ys, Zs) - 终点坐标为(Xe, Ye, Ze) - 圆心坐标为(Xc, Yc, Zc) - 轴向量分量为(Xa, Ya, Za)

圆弧从起点开始，终点结束，半径等于圆心到起点和终点之间的距离，并且其方向由轴向量定义。

例如：

Arc { Start { -18.123, -11.805, 0 }, End { -17.167, -0.553, 0 }, Center { -9.421, -6,877, 0 }, Axis { 0, 0, -1 } }

注意：在这个例子中，弧度是顺时针方向的。

我的问题是：我能够计算出大或小的弧长，但我不能根据轴的方向确定正确的值。希望得到一些帮助。

- alex

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我可能错了，但是你不觉得有可能会出现无法构成弧的输入数据吗？给定一个“起点”和“终点”，圆心只能是平面上与两个点距离相等的任意点。使用“半径”参数会不会更好呢？ - pingul

Answer 1

假设您的数据都是自洽的（中心必须与起点和终点等距，轴应垂直于包含起点、终点和中心的平面），圆弧长度是从起点到终点连线与通过起点、终点和中心的平面之间的夹角的弧度测量值乘以半径（从中心到起点的距离或等效地，从中心到终点的距离）。可以通过余弦定理找到该角度的度量：其中C是起点到终点的距离，A是中心到起点的距离，B是中心到终点的距离。C^2 = A^2 + B^2 - 2AB cos theta在这种情况下，公式可以简化为C^2 = 2R^2 - 2R^2 cos theta，可以解出cos theta，然后取反余弦以获得theta。

如果我理解正确，您已经掌握了这个方法，但问题在于一般情况下逆余弦函数有两个值，分别对应于从起点到终点的短弧和长弧，而您不知道应该选择哪一个。

逆余弦函数的主分支总是给出短角。您需要另一种方法来确定正确的角度是短弧还是长弧。

我建议使用向量积。感兴趣的公式是：

a x b = |a| |b| sin(\theta) n

其中a是向量Start-Center，b是向量End-Center，|a|=|b|=R，n是由您的轴确定的单位向量。您已经从余弦定律中得到了角度theta，所以不需要计算arcsin；此时您真正感兴趣的只是sin(theta)的符号。如果a x b和n方向相同，则sin(theta)>0，并且您采用由余弦定律确定的短弧。如果a x b和n方向相反，则sin(theta)<0，并且您采用由余弦定律确定的长弧。

您可以通过取它们的点积来判断a x b和n是否方向相同或相反。如果点积为正，则它们方向相同。如果点积为负，则它们方向相反。

- Edward Doolittle

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非常感谢您的帮助。 - alex