当特征值非常小的时候，无法得到一个正定的方差矩阵。

Question

为了运行一个Canonical correspondence analysis（cca包ade4），我需要一个正定的方差矩阵。（理论上总是成立的） 但是：

matrix(c(2,59,4,7,10,0,7,0,0,0,475,18714,4070,97,298,0,1,0,17,7,4,1,4,18,36),nrow=5)
> a
     [,1] [,2]  [,3] [,4] [,5]
[1,]    2    0   475    0    4
[2,]   59    7 18714    1    1
[3,]    4    0  4070    0    4
[4,]    7    0    97   17   18
[5,]   10    0   298    7   36

> eigen(var(a))
$values
[1]  6.380066e+07  1.973658e+02  3.551492e+01  1.033096e+01
[5] -1.377693e-09

最后一个特征值是-1.377693e-09，小于零。但理论值应大于零。
如果其中一个特征值小于零，则无法运行该函数。
我真的不知道如何在不更改cca()函数代码的情况下解决这个问题。
谢谢帮助！

- joel lapalme

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实际上，理论值始终大于等于0。 - joel lapalme

Answer 1

您可以稍微调整输入，使矩阵变为正定矩阵。

如果您有方差矩阵，可以截断特征值：

correct_variance <- function(V, minimum_eigenvalue = 0) {
  V <- ( V + t(V) ) / 2
  e <- eigen(V)
  e$vectors %*% diag(pmax(minimum_eigenvalue,e$values)) %*% t(e$vectors)
}
v <- correct_variance( var(a) )
eigen(v)$values
# [1] 6.380066e+07 1.973658e+02 3.551492e+01 1.033096e+01 1.326768e-08

使用奇异值分解，您可以直接使用 a 完成同样的操作。

truncate_singular_values <- function(a, minimum = 0) { 
  s <- svd(a)
  s$u %*% diag( ifelse( s$d > minimum, s$d, minimum ) ) %*% t(s$v)
}
svd(a)$d
# [1] 1.916001e+04 4.435562e+01 1.196984e+01 8.822299e+00 1.035624e-01
eigen(var( truncate_singular_values(a,.2) ))$values
# [1] 6.380066e+07 1.973680e+02 3.551494e+01 1.033452e+01 6.079487e-09

然而，这会导致您的矩阵a发生高达0.1的变化，这是相当大的变化（我怀疑是由于矩阵a是方阵引起的，因此var(a)的特征值之一恰好为0）。

b <- truncate_singular_values(a,.2)
max( abs(b-a) )
# [1] 0.09410187

我们可以通过添加一些噪声来获得更好的结果。

b <- a + 1e-6*runif(length(a),-1,1)  # Repeat if needed
eigen(var(b))$values
# [1] 6.380066e+07 1.973658e+02 3.551492e+01 1.033096e+01 2.492604e-09

- Vincent Zoonekynd

Answer 2

下面有两种方法：

V <- var(a)

# 1
library(Matrix)
nearPD(V)$mat

# 2 perturb diagonals
eps <- 0.01
V + eps * diag(ncol(V))

- G. Grothendieck