我目前在研究核方法，在某个阶段我需要将一个非正半定矩阵（即相似度矩阵）转化为一个正半定矩阵。
我尝试了以下方法：
def makePSD(mat):
#make symmetric
k = (mat+mat.T)/2
#make PSD
min_eig = np.min(np.real(linalg.eigvals(mat)))
e = np.max([0, -min_eig + 1e-4])
mat = k + e*np.eye(mat.shape[0]);
return mat
但是如果我使用下面的函数测试生成的矩阵，它就会失败：
def isPSD(A, tol=1e-8):
E,V = linalg.eigh(A)
return np.all(E >= -tol)
首先要说的是，不要使用eigh来测试正定性，因为eigh假定输入矩阵是 Hermite 矩阵。这可能是你认为你引用的答案不起作用的原因。
我不喜欢那个答案，因为它有一个迭代过程(而且我无法理解它的示例)，也不喜欢其他答案，因为它不能保证给出最好的正定矩阵，即在 Frobenius 范数(元素平方和)意义下与输入最接近的矩阵。(我绝对不知道你在问题中的代码应该做什么。)
我很喜欢这篇 Higham 在1988年发表的文章的 Matlab 实现：https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/42885-nearestspd，所以我把它移植到 Python (编辑已更新至 Python 3):
from numpy import linalg as la
import numpy as np
def nearestPD(A):
"""Find the nearest positive-definite matrix to input
A Python/Numpy port of John D'Errico's `nearestSPD` MATLAB code [1], which
credits [2].
[1] https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/42885-nearestspd
[2] N.J. Higham, "Computing a nearest symmetric positive semidefinite
matrix" (1988): https://doi.org/10.1016/0024-3795(88)90223-6
"""
B = (A + A.T) / 2
_, s, V = la.svd(B)
H = np.dot(V.T, np.dot(np.diag(s), V))
A2 = (B + H) / 2
A3 = (A2 + A2.T) / 2
if isPD(A3):
return A3
spacing = np.spacing(la.norm(A))
# The above is different from [1]. It appears that MATLAB's `chol` Cholesky
# decomposition will accept matrixes with exactly 0-eigenvalue, whereas
# Numpy's will not. So where [1] uses `eps(mineig)` (where `eps` is Matlab
# for `np.spacing`), we use the above definition. CAVEAT: our `spacing`
# will be much larger than [1]'s `eps(mineig)`, since `mineig` is usually on
# the order of 1e-16, and `eps(1e-16)` is on the order of 1e-34, whereas
# `spacing` will, for Gaussian random matrixes of small dimension, be on
# othe order of 1e-16. In practice, both ways converge, as the unit test
# below suggests.
I = np.eye(A.shape[0])
k = 1
while not isPD(A3):
mineig = np.min(np.real(la.eigvals(A3)))
A3 += I * (-mineig * k**2 + spacing)
k += 1
return A3
def isPD(B):
"""Returns true when input is positive-definite, via Cholesky"""
try:
_ = la.cholesky(B)
return True
except la.LinAlgError:
return False
if __name__ == '__main__':
import numpy as np
for i in range(10):
for j in range(2, 100):
A = np.random.randn(j, j)
B = nearestPD(A)
assert (isPD(B))
print('unit test passed!')
除了仅查找最近的正定矩阵外，上述库还包括isPD，它使用Cholesky分解来确定矩阵是否为正定。这样，您就不需要任何公差 - 任何想要正定的函数都会在其上运行Cholesky，因此这是确定正定性的绝佳方法。
它还有一个基于蒙特卡洛的单元测试，如果您将其放入posdef.py并运行python posdef.py，它将在我的笔记本电脑上在大约一秒钟内通过单元测试。然后在您的代码中，您可以import posdef并调用posdef.nearestPD或posdef.isPD。
如果您需要的话，该代码也在Gist上。
我知道这个帖子有点老，但是想说一下，由@user1231818提出的问题现在已经有了令人满意的答案，至少在我测试的情况下：https://dev59.com/7Wgu5IYBdhLWcg3w9ryX#63131250
我在这里留下代码，但是如果需要更多详细信息，请访问链接：
import numpy as np
def get_near_psd(A):
C = (A + A.T)/2
eigval, eigvec = np.linalg.eig(C)
eigval[eigval < 0] = 0
return eigvec.dot(np.diag(eigval)).dot(eigvec.T)
A 大多是对称的。问题在于，对于我尝试过的情况（而且我尝试了很多），所有其他方法都给我提供了非常不同的矩阵，而这种简单的方法是“最接近”的。而且这些差异对我来说非常明显。虽然我不确定为什么。也许我只是尝试了太多简单的矩阵（在我的情况下主要是 2 x 2），而其他方法可能更适用于更高维度或其他情况。 - tjiagoM以防其他人遇到相同的问题。 @tjiagoM和@Ahmed Fasih解释的两种方法是等效的，并且都应该给出最小化Frobenius范数的psd矩阵。 在论文的方程式（2.1）和（2.2）中。
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[2] N.J. Higham, "Computing a nearest symmetric positive semidefinite
matrix" (1988): https://doi.org/10.1016/0024-3795(88)90223-6
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