复杂的无穷大和NaN的乘除运算

Question

在实际的浮点数算法中，我们有额外的符号INF（无穷大），NAN和带符号的零。对于复数算法，情况更加复杂。如果使用“天真”的乘除规则

(a + ib)(c + id) = (ac - db) + i(ac+bd)
(a + ib)/(c + id) = ( (ac + db) + i(ac-bd) ) / (c*c + d*d)

在a、b、c、d变量中，当其中一个变量为INF或NAN时，几乎所有情况都会得到错误的(*)结果。

例如

• (1 + i0)*(INF + i0) = INF + iNAN。与实数算术1*INF = INF相比
• (0 + i1)* (NAN + i0) = NAN + iNAN。然而，人们期望i*NAN = (0+iNAN)
• 1 / (0+0i) = NAN + iNAN。这会破坏例如z = 1/(1/z)的运算，在实数算术中可以完美地运行。

这个列表可以轻松继续下去。

问题是如何正确实现复数除法和乘法，以便在所有情况下，包括其中一个实部或虚部为INF和NAN时，都能给出有意义的结果？还有哪些编程语言保证了具有INF和NAN的复杂算术的正确行为？

编辑：我想知道哪种编程语言标准（版本）要求正确处理具有INF和NAN的复杂算术。我最感兴趣的语言是C、C++和FORTRAN系列。

(*) 错误意味着在数学上没有意义，或者在IEEE-754的意义上是反直觉的。

- Andreas H.

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在什么情况下？使用什么语言？这里是clang的C++ <complex>实现。如果您查看operator *实现，它展示了如何处理INF/NaN。您对此有什么异议吗？ - Brett Hale

他们似乎做得很对。谢谢提供链接。我的问题是哪种编程语言能够保证这一点，也就是在哪种语言的规范中明确要求正确的INF和NAN行为。据我所知，C++并没有这样的规定（但我可能错了）。FORTRAN似乎也不需要。我希望在这里能够得到明确的答案。 - Andreas H.

问题在于，如果您想编写依赖于处理INF和NAN的可移植代码，那么如果某些编译器正确处理而其他编译器不正确处理，则这是毫无意义的。 - Andreas H.

Answer 1

对于 C 语言，请查看 C99 或 C11 的附录 G。至少 GCC 遵循此规范，如果 clang 没有遵循，我会感到惊讶。

对于 C++，我IRC，C++ 标准选择不包含 C99/C11 附录 G，并且复杂乘除的算法由实现决定。

Fortran 标准没有指定如何实现复数乘法或除法。对于除法，GFortran 使用常见的 Smith（1962）方法，除非指定了 -ffast-math，然后使用朴素算法。

有关计算复杂除法的不同算法的比较，请参见 http://arxiv.org/abs/1210.4539。

- janneb

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这也可能会引起兴趣：Claude-Pierre Jeannerod，Nicolas Louvet和Jean-Michel Muller，“关于带有FMA的复浮点除法的分量精度”。在第21届IEEE计算机算术研讨会（ARITH 21）论文集中，2013年4月7日，第83-90页（在线），以及：Douglas M. Priest，“用于复数除法的高效缩放。” ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) 30.4（2004）：389-401。 （在线，付费墙） - njuffa

谢谢，这正是我在寻找的。所以C语言是科学计算的语言！即使Annex G是可选的，至少它规定了如何正确地进行复杂算术运算。C++和Fortran实际上令人失望... - Andreas H.

Smith 1962方法是一种用于复杂除法的策略，可在此处获取：https://dl.acm.org/citation.cfm?id=368661 - mppf