将椭圆转换为折线

Question

我目前有几个椭圆。它们由一个中心点和两个向量定义，一个指向最小轴，另一个指向最大轴。

然而，我正在创建的程序需要将这些形状处理成折线。我相信一定有一个公式可以从我拥有的数据生成一组点，但我不确定如何去做。

有没有人有关于如何处理这个问题的想法？

谢谢。

- djcmm476

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这被称为镶嵌。查一下吧。你想要将曲线镶嵌。最简单的方法是从曲线的参数表示开始。也查一下这个。 - n. m.

你必须定义这些折线的要求。 - MBo

这被称为曲线平滑化。 - user1196549

两个向量对于一个椭圆来说是过多的信息... - V-X

Answer 1

（假设表示椭圆轴的两个向量都平行于坐标轴）

如果你有一个从椭圆中心沿着角度angle发射的径向射线，则该射线与椭圆相交于点。

x = x_half_axis * cos(angle);
y = y_half_axis * sin(angle);

x_half_axis和y_half_axis只是您半轴向量的长度（大小）。

因此，只需选择一些足够小的角度步长delta。通过该步长从中心点在整个[0…2 * Pi]范围内扫过，从0角度开始，然后是delta角度，然后是2* delta角度等。对于每个angle值，椭圆点的坐标将由上述公式给出。这样，您就可以生成椭圆的多边形表示。

如果您的delta相对较大（椭圆上的点较少），则应仔细选择它以确保您的“椭圆多边形”漂亮地关闭：2 * Pi应分成一个delta步数的整数倍。尽管对于小的delta值，这并不重要。

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如果您的最小-最大轴向量不与坐标轴平行，则仍然可以使用上述方法，然后通过应用相应的旋转变换将结果点转换为正确的最终位置。

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然而，固定-delta角度步进具有一些缺点。它在椭圆的最小轴附近（曲率较小的位置）生成更密集的多边形点序列，在最大轴附近（曲率较大的位置）生成更稀疏的点序列。这实际上与期望行为相反：最好在曲率较大的区域具有更高的点密度。

如果这是您所关注的问题，那么您可以更新算法使其使用可变步进。随着我们接近最大轴，角度增量应逐渐减小，并在我们接近最小轴时增加。

- AnT stands with Russia

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太好了，我会试一试，谢谢！只有一个快速的问题，关于你提到的half_axis，它是半轴向量的长度，你是什么意思？这是从长轴还是短轴取得的？ - djcmm476

@djcmm476 是你两个向量的大小。上面的内容将在原点处对齐两个点，"绘制"出你的椭球体。将旋转矩阵和平移矩阵应用于其中的结果会得到正确的值，你将看到矩阵的组成部分。 - IdeaHat

Answer 2

假设中心在(Xc,Yc)，轴向量为(Xm,Ym)和(XM,YM)（这两个应该正交），则公式为

X = XM cos(t) + Xm sin(t) + Xc
Y = YM cos(t) + Ym sin(t) + Yc

在[0,2Pi]内使用t以获得有效的轮廓端点分布。

为了获得轮廓上端点的高效分布，建议使用最大偏差准则进行递归应用：绘制对应于范围[t0,t2]的弧线时，请尝试中点值t1=(t0+t2)/2。如果相应的点使得P1到线段P0P2的距离低于一个常量阈值（例如一个像素），则可以通过线段P0P1来近似该弧线。否则，对弧线[t0,t1]和[t1,t2]重复操作。

先序递归允许您按顺序发出折线顶点。

- user1196549

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绝对比我的答案好。我担心将旋转和过渡变换混合到公式中会使其过于复杂，但在这种情况下，它实际上非常完美地发挥了作用。 - AnT stands with Russia

@AndreyT：是的，如果轴向量已知，则包括旋转矩阵。 - user1196549