Matlab矩阵乘法计算有效数字

Question

我有两个矩阵，形式为变量A和b，并作为我的Matlab函数（在下面发布）的输入。 我想从结果A，b矩阵中计算用于矩阵求逆操作（矩阵除法）的有效数字。 但是，我不知道从哪里开始（Matlab或数学上）来处理这种方法。需要帮助吗？

更多背景信息，使用一个方形线性系统（Ax = b），我正在检查它是否奇异或非奇异，并尝试找到解决方案。

% x = answer
% y = 0 if no solution, 1 if nonsingular, 2 if many solutions
% z = p is number of sig figs
%
function [ x, y, z ] = squareLinSysSolv(A, b)


if det(A) == 0
    % Matrix is singular and therefor many solutions
    x = A\b;
    y = 0; % Used as place holder to compile
    z = 5; % Used as place holder to compile
elseif det(A) ~= 0
    % Matrix does not equal to zero (perhaps a number very close to it or
    % far from it) and therefor has a unique solution.
    x = A\b;
    y = 1; % Used as place holder to compile
    z = 5; % Used as place holder to compile
end
end

编辑： 为了更加清晰明了，请注意，z 应该是一个整数，用于近似（向上或向下取整）在 A\b 计算时达到的有效数字位数的十进制数。

测试用例： 预期结果的测试/规范表。两个矩阵 A 和 b，结果应该是这样的。

A =
    1.5000    2.3000    7.9000
    6.1000    3.2000   13.0000
   13.0000   21.0000   76.0000

b =
     1
     3
     5
>> [x,y,z] = squareLinSysSolv(A,b)
% the result of x = A\b
x =

    0.8580
    3.0118
   -0.9132
% determinant is not equal to zero
y =

     1
% Amount of sig figs/precision in calculation
z =

     15

- Adam

---

也许我有点迟钝，但我不明白你所说的“矩阵求逆运算中使用的有效数字”的意思。你是指像“在不改变答案超过某个（给定的）数量的情况下，我可以改变A和b的程度”这样的东西吗？ - Dan Becker

@DanBecker 希望这样更容易理解（我也更新了原帖）z 应该是一个整数，它近似于 A\b 在某些有效数字处计算的十进制数的上限或下限值。 - Adam

哦，我还是不太明白...你的意思是想要一个值 z，这个值能使得 z 后面的所有小数位都等于零吗？ - Dan Becker

如果我上一条评论准确描述了您尝试做的事情，那么这个SO问题看起来会很有帮助：https://dev59.com/0Ggt5IYBdhLWcg3w8h41 - Dan Becker

既然至少有两个人甚至不理解这个问题在问什么，为什么还有人点赞呢？能否请一个点赞者给我们解释一下这个问题在问什么，以及他们为什么认为它很有趣？我一直觉得自己可能漏掉了什么！ - Dan Becker

Answer 1

我同意Dan的观点。我不理解问题，也不知道你在哪里计算z。首先，答案显示的数字位数与计算答案时的有效数字位数是独立的。其次，你有两种情况：det(A)==0和det(A)~=0。在这两种情况下，似乎你都将z设置为5。（你一定在其他地方做了一些事情，但你没有展示出来，以便计算z=15？你是如何计算z的？）

此外，请注意，有效数字的数量将取决于数据的类别。双精度>单精度>整数...

最后，为了提高效率，虽然我不知道A的大小（也不知道计算行列式需要多少开销），但没有必要计算两次。

if det(A)==0
    % case 1
else % NOT: elseif det(A)~=0
    % case 2
end

我想我也有点迟钝。:)

Brett

- Brett Shoelson

Answer 2

矩阵接近奇异的程度通常由“条件数”来量化。有几种方法可以估计矩阵的条件数。一种常见的技术是计算最大和最小幅值特征值的比率。

Matlab有一个内置函数称为cond，它给出了矩阵（相对于反演）的条件数。接近1的值是“好”的 - 我不确定如何将其与任何具体的东西（如“有效数字”）相关联。

- nibot

Answer 3

如果你的问题是“给定matlab浮点数的十进制表示，最小的数字z是多少，以至于在前z位之后所有数字都是零”，那么我认为以下函数基本可以解决。

我要提醒一下，虽然我已经在很多数字上测试过了，但我可能会错过某些情况，所以你需要仔细测试。这可以通过一次遍历字符串更有效地完成。

function n = sig_decimal_digits(f)
    % get string representation, any decimal point, and any leading zeros
    str = num2str(f,20);

    % strip any exponent part
    loc = regexp(str, 'e');
    if ~isempty(loc)
        str = str(1:(loc-1));
    end

    % strip any decimal point
    str = strrep(str, '.', '');

    % strip any leading zeros (and minus sign!)
    loc = regexp(str, '[1-9]');
    if isempty(loc)
        %if *only* leading zeros, f is 0, so n = 1
        n = 1;
        return;
    else
        str = str(loc:end);
    end

    % count length of string, excluding trailing zeros
    loc = regexp(str, '0+$');
    if isempty(loc)
        n = length(str);
    else
        n = loc-1;
    end
end

然而，我会添加两个评论：

1. 这显然与矩阵乘法无关，所以我不确定为什么你要把它带进来。
2. 这是一个奇怪的量要计算。除非您的矩阵中有非常特殊的数字，否则答案几乎总是17，因为大多数浮点数没有短小的十进制展开式。例如，对于您在问题中提供的A和b，根据我的函数，x中的所有三个数字都有17个有效数字。

- Dan Becker