Numpy - 平方根的-1留下了一个小实部

Question

也许这是一个算法问题，但以下代码片段

numpy.power((-1+0j),0.5)

会产生以下输出结果：

(6.1230317691118863e-17+1j)

类比表达式，例如 numpy.power(complex(-1),.5) 会得到相同的结果，然而 numpy.sqrt(complex(-1)) 得到了期望的结果 1j。显然结果不应该有实部，所以我是否遗漏了关键点或者需要向 numpy 开发人员报告此问题。

如果有人问，我不能四舍五入去掉实部（我需要完整精度进行计算），而且我需要使用幂函数。

- crasic

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你说的“我需要完全精度进行这个计算”是什么意思？你提供的数值比我的电脑上的机器精度还要小：np.finfo(np.complex).eps == 2.2204460492503131e-16。请问是否正确？ - Katriel

@katrielalex 我的意思是，当没有实部时，就不应该有任何实部。也许精度不是正确的词，但例如，此结果稍后将被插入到复 erf 中，而后续结果对于实部的存在或不存在非常敏感（此脚本用于量子物理计算）。我知道，例如，root(2) 的精度受到比这更大的数字的限制，但在这种情况下，如果有任何意义，结果相当精确。 - crasic

大多数复杂浮点函数（例如在标准C库中，其中“power = cpow”在这种情况下来自）的精度通常仅以|error| / |value|指标来说明。在该指标下，上述结果是浮点数中能够达到的最好结果。如果您需要更多，则必须手动加入额外的知识。 - pv.

Answer 1

计算平方根为-1时，实际上会计算出 exp(i phase/2)，其中相位（-1的相位）大约为 π。

>>> import cmath, math
>>> z = -1+0j
>>> cmath.phase(z)
3.141592653589793
>>> math.cos(_/2)
6.123233995736766e-17

这表明-1的相位只有在1e-17左右才为π；相位除以2也仅大约为π/2，其余弦值也仅大约为0，因此你的结果（结果的实部是该余弦值）。

问题最终源于浮点数只有一个固定的、有限的数量。 π不在浮点数列表中，因此只能近似表示。π/2也无法精确表示，因此-1的平方根的实部是浮点数近似的π/2的余弦（因此余弦值与0不同）。

因此，Python对于numpy.power(complex(-1), .5)的近似值最终是由浮点数的限制所致，并且可能在许多语言中都会出现。

你观察到的与数的幂的实现通过浮点数限制相连。在你的例子中，通过计算复数的模和参数来计算平方根（基本上通过对数函数返回log(module) + i phase）。另一方面，cmath.sqrt(-1)给出了确切的1j，因为它使用了不同的方法，并且不会遭受(-1+0j)**0.5的浮点近似问题（正如TonyK所建议的那样）。

- Eric O Lebigot

Answer 2

这是实现numpy.power()用于复数时的一个副作用。标准库也存在同样的问题。

>>> numpy.power(-1+0j, 0.5)
(6.123233995736766e-17+1j)
>>> cmath.exp(cmath.log(-1)/2)
(6.123233995736766e-17+1j)

- Ignacio Vazquez-Abrams

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sqrt是一个单独的函数吗？我总觉得它调用了power函数。 - crasic

一般而言，复杂的“power”函数需要计算实数对数和三角函数。但是“sqrt”函数只需要解几个二次方程。因此，一个好的实现会提供一个自定义的“sqrt”函数，比“power”更快且更准确。 - TonyK

Answer 3

尝试使用numpy.real_if_close()函数。详情请见：Real if close。

- roger314