为什么操作符%被称为“模数”运算符而不是“余数”运算符？

Question

为什么操作符%被称为“模数”运算符而不是“余数”运算符？

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今天在工作中，我和一位同事进行了一次有趣的讨论。他很惊讶地发现发生了以下情况：

assert(-1 % 10 == -1)  //Expecting 9

当他来问我这个问题时，我告诉他：“嗯，那很有道理。当你将-1除以10时，余数是-1，商是0。”然而，他的论点是模运算应该遵循“始终为正”的模型。我做了一些研究，发现他所指的模数如下所示：引用：设q是a和n的整数商，r是余数。则： a = n * q + r 然而，I使用的定义似乎是Knuth版本的模数，它是这样的：引用：设q是a除以n的底数。r是余数。则： r = a - n * q 因此，我的问题是为什么在FORTRAN标准（随后是C标准）中，模运算符会向0截断？对我来说，把它称为“模数”而不是“余数”似乎是一个错误的称呼（在数学上，答案应该是9）。这是否与硬件执行除法有关？参考资料：

取模运算符的维基百科页面
“modulus”运算符的MSDN条目
（是的，我知道它是针对VS2003的...但我现在被困住了。Sadface）
取模运算符的变化
不要假设余数为正数...

简而言之：硬件是使取模运算符向0截断的原因吗？

- Chad La Guardia

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你应该意识到这个问题和链接中充满了避免使用负数取模的原因。 - H H

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回避并不是问题的重点。 - Chad La Guardia

它真的被称为“模数”还是“模”？“模”有几个音节？“余数”呢？ - supercat

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@supercat，“modulus”和“remainder”每个单词都有3个音节。“mod”和“rem”每个单词只有1个音节。 - OJFord

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@OllieFord：“REM”是BASIC中的一个关键字，可能在一些基于BASIC的语言中也是如此，它用于引入注释。此外，一些语言使用“%”来引入注释。因此，将“%”描述为“rem”运算符可能会导致一些混淆。 - supercat

3个回答

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%是C和C++中的余数运算符。

在C++标准中，它被称为%运算符，并且产生除法的余数。在C标准中，它被称为%运算符，自C99以来它实际上是一个余数运算符。模数和余数运算符在负值方面有所不同。

%运算符在C和C++中定义为a == (a / b * b) + a % b。

C中向0截断整数除法是自C99以来进行的。在C89中，它是实现定义的（并且%可以是C89中的模数运算符）。对于整数除法，C++也执行向零截断。

当向0截断时，%是一个余数运算符，结果的符号是被除数的符号。当向负无穷大截断时，%是一个模数运算符，结果的符号是除数的符号。

关于C更改整数除法有关截断的实现定义行为的原因，来自C委员会的Doug Gwyn说：

C99强制实施了与Fortran兼容的要求，以试图吸引更多的Fortran程序员，并帮助将Fortran代码转换为C。

C99 Rationale在截断向零整数除法方面表示：

然而，在Fortran中，结果将始终截断至零，并且数字编程社区似乎可以接受此开销。因此，C99现在需要类似的行为，这应有助于从Fortran到C的移植。

在gcc中，C89的实现行为一直是向零截断。

因此，%是C99、C++和Java中的余数运算符，但并不是所有编程语言中的余数运算符。在Ruby和Python中，%实际上是模数运算符（在这些语言中，整数除法是朝负无穷大进行的）。Haskhell和Scheme具有两个单独的运算符：Haskell的mod和rem，以及Scheme的modulo和remainder。

- ouah

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恐怕问题出在对数学的误解上。模n同余是一种等价关系，因此它只定义了等价类。因此，说“在数学中，答案确实应该是9”是不正确的，因为它也可以是19、29等等。当然，它也可以是-1或-11。在模10意义下，与n同余的数字有无限个。

http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

http://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation

所以，正确的问题应该是：在模10意义下与-1同余的数字类中的哪个元素将成为C++中-1％10的结果？答案是：-1除以10的余数。没有什么神秘的。

PS您对模和Knuth的定义是等价的... :)

- ascanio

这些定义并不相等。插入-1％10，你就会明白为什么了。 - Chad La Guardia

为什么？“设q是a除以n的整数商”，这与“设q是a除以n的底部”相同。鉴于您将n*q翻转到等式的另一侧，定义的其余部分完全相等...;) - ascanio

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许多人会期望百分号（%）运算返回等价类的唯一代表。但实际上并非如此，因为对于同一等价类中属于不同整数对（x 和 -x，且 x!=0），它会返回不同的代表。你提出的 -1%10 可以是 -1 或 -11 的论点只有在总是使用相同的 [0, m-1] 偏移量时才有意义（例如，如果 -1%10=-11，则 9%10 也应该是 -11 而不是 9）。 - Ambroz Bizjak

我不明白你在说什么...我先是在谈论数学，然后是关于C++语言及其实际行为。在真实的C++世界中，我非常确定%运算符对于一个输入只产生一个结果（否则它将是不确定的..），但在数学中，它们原则上都是有效的。我相信这是一个典型的情况，在这种情况下，对于一个真实世界的编程语言的疑问来自于对数学概念的错误理解。在这种情况下，假设-1 % 10应该是9是完全错误的。 - ascanio

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我并不是说 C/C++ 中 % 运算符的定义有什么问题。我只是想说，期望它始终返回 [0, m-1] 范围内的值是有数学基础的。再次强调：许多人会期望 % 运算符返回等价类的唯一代表（而许多人也会期望它的行为与现在完全相同）。 - Ambroz Bizjak

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换句话说，从数学角度来看，当且仅当x和y在模b下处于相同的等价类时，语句(x％b)==(y％b)应该为真。例如，一种语言可以定义％运算符以假定四舍五入除法（在这种情况下，结果的符号将指示如何调整被除数以达到除数的精确倍数）并满足该期望，但是C中实现的运算符不是这样的。 - supercat

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可以查看英文原文，
原文链接

- user743382 · Accepted Answer

对我来说，称其为“模数”而不是“余数”似乎是一个错误的用词（在数学中，答案应该是9）。

C语言将其称为%运算符，并将其结果称为余数。C++从C语言中复制了这一点。两种语言都没有将其称为模运算符。这也解释了为什么余数是负数：因为/运算符向0截断，而(a / b) * b + (a % b)应该等于a。

编辑：David Rodríguez正确指出，C++确实定义了一个名为std::modulus的模板类，它调用operator%。在我看来，这个类的命名不太合适。稍微挖掘一下，它是从STL继承而来的，在那里它已经被命名为现在的样子。STL的下载说：“STL是在SGI MIPSproTM C++ 7.0、7.1、7.2和7.2.1上开发的。”，据我所知，没有实际拥有编译器和硬件，MIPSpro将除法传递给CPU，MIPS硬件向0截断，这意味着std::modulus一直被命名错误。