取模运算符的变化

Question

C++03中的5.6/4规定：“如果两个操作数都为非负数，则余数为非负数；否则，余数的符号由实现定义⁷⁴⁾。”。

其中Note 74是这样描述的

根据正在进行的ISO C修订工作，整数除法的首选算法遵循在ISO Fortran标准ISO/IEC 1539:1991中定义的规则，其中商总是朝着零舍入。

C++0x规定 -

C++0x中的5.6/4-“对于整型操作数，/运算符产生代数商，并舍弃任何小数部分；⁷⁹如果商a/b可以在结果类型中表示，则(a/b)*b + a%b等于a。

Note 79说

这通常称为向零截断。

所以我有两个问题:

• 有人能解释一下“向零截断”的概念吗？

• C++0x中使用负操作数进行取模运算是否是已定义的行为？

- Chubsdad

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唉，新定义仍然没有最常需求的基本模数特性：A mod B 应该保证产生一个在 0 和 B 之间（包括 0 但不包括 B）的值。 - swestrup

@swestrup：这一切都关乎优先级。如果您要求A%B∈[0,B)，并且您还要求(A/B)*B+A%B==A，则A/B必须具有一种反常的舍入规则，即向-∞截断。在这种舍入下，10/-3 == -4，并且(-A)/B != -(A/B)。 - Philip Potter

是的，但这种“反常”的舍入方案在使用有符号整数时，在绝大多数情况下都是必需的。我还没有看到任何使用案例表明当前定义非常有用。实际上，通常是通过硬件高效来证明其合理性，这是因为硬件也会出错。Perl的模运算符是正确的，除非使用整数模式... - swestrup

@PhilipPotter：我认为(A+m)%m==A%m和(A+d)/d==(A+d)+1这两个关系比(-A)/B==-(A/B)更有用。在使用整数运算绘制图形时，将其转换以使0位于窗口中间时，正负数之间的过渡可能会出现非常丑陋的接缝；如果/运算符向负无穷舍入，则可以避免这样的接缝。请注意，通过向负无穷舍入的除法语义，在对带符号数除以2的幂或取模时速度会更快。 - supercat

@swestrup：如果我能自己选择，而且一种语言不会强制要求“-1％m ==（m-1）”，我会放宽规则，使得当且仅当“n”和“m”都是正数或“n”是“m”的倍数时，“n％m”可以任意返回正负模数，并且“n / m”可以任意向上或向下舍入，无需要求结果即使对于给定值组合也保持一致。这样的规则将允许应用程序执行涉及常量二次幂除数或基数的计算，而无需包括有符号数学清理代码。 - supercat

Answer 1

向零取整是指通过选择最接近零的下一个整数将实数转换为整数。等效地，您将数字写下来，并忽略小数点后的所有内容，无论数字是正数还是负数。

考虑11/4 = 2.75--如果你向零截断这个数，你得到2。

考虑-11/4或11/-4 = -2.75--如果你向零截断这个数，你得到-2。

对于某些数学运算，(a/b)*b + a%b == a非常重要。如果我们必须使这个方程成立，并且我们也接受整数除法向零截断，那么我们可以推断出%运算符的操作如下：

a == 11, b == 4:
a/b == 2, 2*4 + a%b == 11, therefore a%b == 3.

a == -11, b == 4:
a/b == -2, -2 * 4 + a%b == -11, therefore a%b == -3.

a == 11, b == -4:
a/b == -2, -2 * -4 + a%b == 11, therefore a%b == 3.

a == -11, b == -4:
a/b == 2, 2 * -4 + a%b == -11, therefore a%b == -3.

一开始可能有点困惑，但是C++0x正在使用公式(a/b)*b + a%b == a来定义a%b运算符的行为。即使对于负数，这个公式也成立，因此a%b在负数情况下也是被定义的。

- Philip Potter

Answer 2

a) 考虑 (±5)/(±3) -> ±1。在数轴上：

  (-5)/3                                     5/3
     5/(-3)                               (-5)/(-3)
      =                                       =
    -1.66 --> -1                       1 <-- 1.66
       v       v                       v       v
-  +  -  -  -  +  -  -  -  +  -  -  -  +  -  -  -  +  -
   |           |           |           |           |
  -2          -1           0           1           2

因此，四舍五入是朝着零的方向进行的。

b) 是的。由于现在对所有a和b（除了b == 0）定义了a/b，并且(a/b)*b + a%b == a，所以a%b只有1个唯一解，因此%运算符也对所有a和b（除了b == 0）都是良好定义的。

- kennytm

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为什么叫做“四舍五入”？这不是截断吗？ - Chubsdad

@chubsdad：术语“舍入”比你想象的要广泛得多。请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Rounding#Rounding_to_integer - kennytm

Answer 3

a) "向零截断"简单地意味着任何小数部分都被砍掉。截断后的数字始终至少与原数字一样接近0，通常更接近。这在负数中最为明显，但目标是使使用/和%与负数变得不那么棘手（因为当前，任何实现都可以按照自己的方式处理）。-7/4可以有两种思考方式：余数为1的-2，或者余数为-3的-1。有编译器和处理器会以两种方式处理它。由于-7/4实际上是-1.75，“向零截断”将给出-1，因此后一种方式将成为标准。

b) 看起来就是这样。它一直是半定义的（“实现定义”），但这似乎是试图定义从一开始就应该成为标准的东西。

- cHao