C++11中的取模运算符改变了吗？

Question

在C++ 98/03中，可能会有重复的问题：C++ operator % guarantees。

5.6-4

二元运算符/产生商，而二元%运算符产生第一个表达式除以第二个表达式的余数。如果/或%的第二个操作数为零，则行为未定义；否则（a/b）* b + a％b等于a。如果两个操作数都是非负的，则余数为非负的；如果不是，则余数的符号是实现定义的。 在c ++ 11中： 5.6 -4 二进制/运算符产生商，而二元%运算符产生第一个表达式除以第二个表达式的余数。如果/或%的第二个操作数为零，则行为未定义。对于整数操作数，/运算符产生代数商，任何小数部分都被丢弃；如果商a / b可以用结果类型表示，则（a / b）* b + a％b等于a。 正如您所看到的，符号位的实现定义缺失，它会发生什么？

- RoundPi

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@AnandVeeramani：有些人只是想避免未定义（或在这种情况下，实现定义）的行为。我很高兴他问了这个问题，因为当值可能为负数时，我已经避免使用模运算。 - moswald

另外，请参见：https://dev59.com/4HA65IYBdhLWcg3w1SRC - Mankarse

C++ 98/03还有这样的脚注：“根据正在进行的修订ISO C工作，整数除法的首选算法遵循ISO Fortran标准（ISO/IEC 1539:1991）中定义的规则，其中商始终向零舍入。” C++11只是将其作为标准的要求（与C99对C所做的要求相同）。去除“％”运算符的实现定义部分是其结果。 - Michael Burr

@moswald：在这些情况下，您也必须避免使用“/”运算符，因为它同样是实现定义的。 - Michael Burr

正如答案中所提到的，C++11中整数操作数的/运算符行为要求向零截断。这在C99中也是正确的。之前的标准将其留给实现定义。请注意，div()函数（及其相关函数）始终被指定为向零截断。 - Michael Burr

Answer 1

%在C++11中的行为已被加强，并且现在已完全规定（除了对0进行除法）。

截向零的组合和恒等式(a/b)*b + a%b == a意味着，对于正数a，a%b始终为正，而对于负数a，a%b则为负。

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这种情况的数学原因如下：

设÷为数学除法，/为C++除法。

对于任何a和b，我们有a÷b = a/b + f（其中f为小数部分），根据标准，我们还有(a/b)*b + a%b == a。

由于a/b向0截断，因此如果a÷b为正，则小数部分始终为正，如果a÷b为负，则小数部分为负：

sign(f) == sign(a)*sign(b)

可以将a/b = a÷b - f重新排列。可以将a扩展为(a÷b)*b：

(a/b)*b + a%b == a => (a÷b - f)*b+a%b == (a÷b)*b。

现在可以将左侧进行扩展：

(a÷b)*b - f*b + a%b == (a÷b)*b

a%b == f*b

从前面回忆一下，sign(f)==sign(a)*sign(b)，因此：

sign(a%b) == sign(f*b) == sign(a)*sign(b)*sign(b) == sign(a)

- Mankarse

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@mata：符号仅由a确定，您在算术运算中搞砸了（-1/2）= -0.5 = 0（截断后），因此0 + x = -1，所以x = -1。 - Mankarse

@Mankarse：这个方程式一直存在（就像03标准中一样），唯一新的东西似乎是所谓的“朝零截尾”。这个“朝零截尾”是什么意思？ - RoundPi

@Gob00st：向零截断意味着在结果中舍弃除法结果的小数部分，因此5/4 == 1.25 => 1（舍弃0.25），而-7/4 == -1.75 => -1（舍弃-0.75）。 - Mankarse

我在哪里可以找到有关C++11的更改信息，例如模数运算符%的行为？我发现的有关C++ 11新功能的网站没有提到模数运算符的更改。我需要从ISO购买C++标准吗？这些关于C ++ 的信息不是免费提供的吗？ - Jorge Luque

@JorgeLuque：从技术上讲，您需要从ISO或国家标准机构之一购买C++标准，但标准的最终草案是免费提供的，并且通常非常类似于官方标准。请参见isocpp.org。 - Mankarse

Answer 2

算法表明 (a/b)*b + a%b = a，如果你记得它是 truncate(a/b)*b + a%b = a 更容易理解。使用代数，a%b = a - truncate(a/b)*b。也就是说，f(a,b) = a - truncate(a/b)*b。对于哪些值 f(a,b) < 0？

无论 b 是正数还是负数都没有关系。它会被取消，因为它出现在分子和分母中。即使 truncate(a/b) = 0 并且 b 是负数，那么当它是 0 的乘积时，它也将被取消。

因此，只有 a 的符号决定了 f(a,b) 或者 a%b 的符号。

- Bacon Bits

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该方程式始终存在，就像03标准一样... - RoundPi

区别在于，在C++03中，除法取整没有完全指定。 - Mankarse