在Mathematica中，我如何定义一个任意的概率分布？

Question

我希望有一个任意函数p[x]，它可以积分为1，并且对于所有的x，0 <= p[x] <= 1。有没有什么转换规则呢？

- Sasha

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“Arbitrary” 是什么意思？是一种“随机函数”吗？ - Karsten W.

任意的，就像我不给它一个定义。不透明的。 - Sasha

你怎么能使用未定义的东西呢？ 请问这个函数是用来干什么的？通过整合到1，是在[0,1]还是R上？ - Per Alexandersson

我希望能够告诉Mathematica，我有一个不透明的函数p，它在R上积分为1，并且它可以利用这个事实来简化涉及p的更复杂的积分。 - Sasha

Answer 1

你可以使用ProbabilityDistribution来实现这个目标，同时结合一个未定义的函数x:

dist = ProbabilityDistribution[p[x], {x, -Infinity, Infinity}];

现在它知道一些要应用的规则：

• 连续概率密度：单个值的概率为零

In[26]:= Probability[x == 0, x \[Distributed] dist]

Out[26]= 0

有数值的概率

In[28]:= Probability[x > 0 || x <= 0, x \[Distributed] dist]

Out[28]= 1

负无穷处的累积分布函数

In[29]:= CDF[dist][-\[Infinity]]

Out[29]= 0

+无穷大处的累积分布函数（CDF）

In[30]:= CDF[dist][\[Infinity]]

Out[30]= 1

PDF 文件

In[32]:= PDF[dist][x]

Out[32]= p[x]

然而，它并不假设分布的概率密度函数已经被归一化：

In[33]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[33]= Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}]

后者可以被教授，通过为p定义一个UpValue来实现：

p /: Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}] = 1;

现在它可以集成PDF：

In[4]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]

Out[4]= 1

你知道你的第二个要求，即0 <= p[x] <= 1，对于概率密度函数来说并不普遍成立，对吗？

- Sjoerd C. de Vries

Answer 2

如果你只是在寻找符合你标准的密度函数（PDF）的例子，这里有两个（其中有无数个）：

p(x) = 1 if 0 < x < 1
       0 otherwise

p(x) = x/2 if 0 < x < 2
       0 otherwise

我们甚至可以稍微概括一下：

p(x) = 1/k if 0 < x < k
       0 otherwise

p(x) = 2x/k^2 if 0 < x < k
       0 otherwise

对于 k >= 2，后者是有效的。 我们甚至可以通过另一个参数来概括它，以获得具有任意指数的这类函数。

p(x) = (a+1)/k^(a+1)*x^a if 0 < x < k
       0 otherwise

适用于所有a>1和k>a+1。

如果您想要更有趣的示例，我认为您需要提供更多的标准。您提到了一个转换规则，因此也许您想要取R1上的任意有界函数，并将其翻译/缩放，使其始终在0和1之间，并且积分为1。只要您可以获得给定函数的最小值、最大值和积分，这将有一个直接的答案。如果这确实是您要寻找的内容，请随意编辑问题并提出。

- dreeves