在Mathematica中如何计算条件概率？是否可行？

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在Mathematica中如何计算条件概率？是否可行？

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Mathematica能否自动进行贝叶斯公式的条件概率计算？如何实现？

我已经在Mathematica文档和网络上搜索了很久，但没有找到任何线索。我不是想知道如何手动使用Mathematica进行贝叶斯公式计算，而是想知道是否有一种方式来定义条件概率并自动计算其他概率。

假设采用伯努利分布的玩具示例：

P(Cancer+) = 0.01
P(Cancer-) = 0.99

P(Test+|Cancer+) = 0.9
P(Test-|Cancer+) = 0.1
P(Test+|Cancer-) = 0.2
P(Test-|Cancer-) = 0.8

能否计算出

P(Cancer+|Test+) = 0.0434

因此使用以下内容。

Print["P(C+) = ", PCancerT=BernoulliDistribution[0.01]];
Print["P(C-) = ", PCancerF=BernoulliDistribution[0.99]];
Print[]
Print["P(T+|C+) = ", PTestTGivenCancerT=BernoulliDistribution[0.9]];
Print["P(T-|C+) = ", PTestFGivenCancerT=BernoulliDistribution[0.1]];
Print["P(T+|C-) = ", PTestTGivenCancerF=BernoulliDistribution[0.2]];
Print["P(T-|C-) = ", PTestFGivenCancerF=BernoulliDistribution[0.8]];
Print[]
Print["P(T+,C+) = ", PTestTAndCancerT = Probability[vCT&&vTTCT,{vCT\[Distributed]PCancerT,vTTCT\[Distributed]PTestTGivenCancerT}]];
Print["P(T-,C+) = ", PTestFAndCancerT = Probability[vCT&&vTFCF,{vCT\[Distributed]PCancerT,vTFCF\[Distributed]PTestFGivenCancerT}]];
Print["P(T+,C-) = ", PTestTAndCancerF = Probability[vCF&&vTTCF,{vCF\[Distributed]PCancerF,vTTCF\[Distributed]PTestTGivenCancerF}]];
Print["P(T-,C-) = ", PTestFAndCancerF = Probability[vCF&&vTTCF,{vCF\[Distributed]PCancerF,vTTCF\[Distributed]PTestFGivenCancerF}]];
Print[]
Print["P(C+|T+) = ?"];
Print["P(C+|T-) = ?"];
Print["P(C-|T+) = ?"];
Print["P(C-|T-) = ?"];

我可以通过手动定义所有概率表来计算联合概率，但是有没有办法让Mathematica来处理这些繁重的工作？是否有一种方法来定义和计算这些条件概率？

非常感谢任何帮助，即使它只是“你不能做到...也要尝试” :)

PS：这是对做类似事情的一次尝试吗？Mathematica中的符号条件期望

- Bart

2个回答

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我不会用Print语句和BernoulliDistribution来复杂化问题。你已经知道了概率，所以最简单的方法就是直接计算它们，但也许可以使用向量来获得P(B)，并利用pr(癌症)=1-pr(非癌症)等事实。

贝叶斯定理表明，P(A|B)=(P(A ⋂ B))/(P(B))。

交集可以通过条件概率（给定癌症的测试）乘以癌症概率来计算。

因此，以下类似的代码应该可以工作：

conditionalProb[pC_, pTC_, pTNC_] /; 
 (0 < pC < 1) && (0 < pTC < 1) && (0 < pTNC < 1) :=
 (pTC * pC)/({pTC, pTNC}.{pC, 1 - pC})

conditionalProb[0.01, 0.9, 0.2]

0.0434783

是的，版本8中的概率功能确实可以“自动计算”条件概率，但对于像这样具有伯努利分布事件的问题来说，它有些过头了。

- Verbeia

谢谢，打印只是为了尝试让在mma中执行时更清晰地表达我想要实现的目标，也许适得其反。至于答案，我知道可以使用简单的Bayws规则函数轻松计算出这个特定的答案。我想我所问的是，是否有更复杂的推理功能，而不必明确定义计算。例如，能够计算P(Cancer-|Test+，Test-，Test-)。其中Cancer + / - 的概率随着每个连续测试结果略微变化。 - Bart

也可能使用不同的发行版。 - Bart

是的，我知道概率函数，但我还没有能够算出如何使它执行上述计算。我可能漏掉了一些非常基本的东西。 - Bart

@Bart，Probability 函数对其他分布应该也是有用的，但在你所面临的两个事件中值本质上是布尔型时，我的函数更直接。使用我的函数可以方便地改变癌症的概率：只需更改第一个参数，例如 conditionalProb [0.03，0.9，0.2]。 - Verbeia

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- Gregory Klopper · Accepted Answer

实际上，我曾经以符号方式解决过这个问题，并涵盖了许多简单（未链接）的概率。我想增加链接也不是那么难（见下文）。欢迎您回复并进行补充。符号方法比使用伯努利分布和创建贝叶斯定理的过程更加灵活，并且每次考虑正确的应用方法。

注意：函数没有绑定，就像上面的帖子中一样

 ((0<pC< 1) && (0<pTC< 1) && (0<pTNC< 1)) ，因为有时您想要“非加权”结果，这会产生超出0-1范围的数字，然后您可以通过除以某些归一化概率或概率乘积将其带回范围内。如果您确实想添加边界以进行错误检查，请执行以下操作：

P [A_ /; 0 < = A < = 1]：= some_function_of_A;

在Mathematica中使用 Esc + cond + Esc 输入 \\ [Conditioned] 符号。
Remove[P];
Unprotect@Intersection;
Intersection[A_Symbol, B_Symbol] := {A, B}
Intersection[A_Not, B_Symbol] := {A, B}
Intersection[A_Symbol, B_Not] := {A, B}
P[Int_List/; Length@Int == 2] := P[Int[[2]] \[Conditioned] Int[[1]]] P[Int[[1]]]
   (*//  P(B) given knowledge of P(A)  //*)
P[B_, A_] := If[NumericQ@B, B, 
                P[B \[Conditioned] A] P[A] + P[B \[Conditioned] Not@A] P[Not@A]]
P[Not@B_, A_: 1] := If[NumericQ@A, 1 - P[B], 1 - P[B, A]]
P[A_ \[Conditioned] B_] := P[A \[Intersection] B]/P[B, A]
P[Not@A_ \[Conditioned] B_] := 1 - P[A \[Conditioned] B];

你可以像这样使用它：
P[Cancer]=0.01;


不需要写“非癌症”，因为P[!Cancer]的结果是0.99（Esc+not+Esc可以输入漂亮的逻辑非符号，但Not[A]、!A或\[Not]A也可以正常工作）。

P[Test \[Conditioned] Cancer] = 0.9
P[Test \[Conditioned] ! Cancer] = 0.2


再次说明：P[!测试\\[条件] 癌症]将按定义成为1-P[测试\\[条件] 癌症]，除非您对其进行了覆盖。

现在让我们查询此模型：

P[Test, Cancer]
P[!Test, Cancer]


返回值

0.207
0.793

并且
P[Cancer \[Conditioned] Test]
P[!Cancer \[Conditioned] Test]
P[Cancer \[Conditioned] !Test]
P[!Cancer \[Conditioned] !Test]


返回值

0.0434783
0.956522
0.00126103
0.998739


我认为定义P(B|A1,A2,A3,...,An)是一个好主意，有人愿意使用NestList或类似方法编写链式规则吗？虽然我在项目中并不需要它，但如果有人需要的话，添加它也不会太难。