向量数学，如何在两个向量之间找到平面上的坐标

Question

我正在尝试沿着样条线生成一个3D管道。我有样条线的坐标（x1，y1，z1-x2，y2，z2-等），你可以在黄色的插图中看到。在这些点上，我需要生成圆，它们的顶点稍后将连接。为了形成正确的管道，圆需要垂直于样条线的两条线段的“角落”。请注意，出于说明目的，线段保持较低。

（显然，我不被允许发布图片，请在此链接中查看图像）http://img191.imageshack.us/img191/6863/18720019.jpg

我已经能够计算每个环在样条线上每个点的顶点，但它们都在同一平面上，即相同的角度。我需要根据它们的“腿”（例如A和B对C）将它们旋转。

我已经考虑了这个问题，并想到了以下解决办法：

• 两条线段可以看作是两个向量（在图示A和B中）
• 角落（在图示C中）是需要计算顶点环的地方
• 我需要找到所有顶点所在平面
• 然后可以使用此平面（=向量？）从中心点C计算新的向量
• 并使用半径* sin和cos找到它们的x、y、z

然而，我对数学部分非常困惑。我读过点积但不知道如何在这种情况下应用。

有人可以指点我吗？

【编辑】 为了提供更多关于情况的信息：

我需要构建一个浮点缓冲区，其中-每组3个-描述顶点位置，并将通过OpenGL ES连接，给定另一个缓冲区与索引以形成多边形。

为了赋予管的形状，我首先创建了一个浮点数组，其中-每组3个-描述三维空间中的控制点。

然后，我将控制点与一个分段密度变量一起传递给一个函数，该函数使用这些控制点创建CatmullRom样条，并以另一个浮点数组的形式返回，其中-再次以3组为单位-描述catmull rom样条的顶点。

在每个这些顶点上，我想创建一个环形顶点，其密度（每个环的平滑程度/顶点数）也可能不同。

所有以前的顶点（控制点和描述catmull rom样条的顶点）都被丢弃了。

只有形成管道环的顶点将被传递到OpenGL，然后连接这些顶点形成最终的管道。

我已经能够创建catmullrom样条，并在其顶点位置创建环，但它们都在相同角度的平面上，而不是沿着样条路径。

- Will Kru

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谢谢！我对这个论坛的专业水平和活跃程度感到非常惊讶，所以我会注册一个账户，并开始分享我的知识 :) 我将从2) 开始。 - Will Kru

Answer 1

假设您有一个参数曲线，例如：

xx[t_] := Sin[t];
yy[t_] := Cos[t];
zz[t_] := t;  

这给出：

曲线的切向量由每个方向上的导数形成。在我们的情况下，

Tg[t_]:= {Cos[t], -Sin[t], 1}  

与该向量正交的平面由求解隐式方程得到：

Tg[t].{x - xx[t], y - yy[t], z - zz[t]} == 0  

在我们的情况下，这是：

-t + z + Cos[t] (x - Sin[t]) - (y - Cos[t]) Sin[t] == 0  

现在我们在该平面上找到了一个圆，其圆心在曲线上，即：

c[{x_, y_, z_, t_}] := (x - xx[t])^2 + (y - yy[t])^2 + (z - zz[t])^2 == r^2  

解决两个方程，您可以得到圆的方程式： 希望能对你有所帮助！ 编辑 通过画很多圆，您可以得到一个（不是很高效的）管道： 或者使用一个好的3D图形库： 编辑 既然您坚持：）这里有一个计算交叉点处圆的程序。

a = {1, 2, 3}; b = {3, 2, 1}; c = {2, 3, 4};
l1 = Line[{a, b}];
l2 = Line[{b, c}];

k = Cross[(b - a), (c - b)] + b; (*Cross Product*)
angle = -ArcCos[(a - b).(c - b)/(Norm[(a - b)] Norm[(c - b)])]/2;
q = RotationMatrix[angle, k - b].(a - b);
circle[t_] := (k - b)/Norm[k - b] Sin@t + (q)/Norm[q] Cos@t + b;

Show[{Graphics3D[{
    Red, l1,
    Blue, l2,
    Black, Line[{b, k}],
    Green, Line[{b, q + b}]}, Axes -> True],
  ParametricPlot3D[circle[t], {t, 0, 2 Pi}]}]

编辑

这里是使用该方法构建的网格。在我看来并不美观：

- Dr. belisarius

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@Will，样条基本上是一个参数曲线。您只需使用样条的参数方程并选择要放置圆的位置即可。 - Dr. belisarius

@Will，你的问题不够清晰，因为你在第一句话中提到了样条曲线，但没有提到OpenGL。此外，OpenGL也不在你的标签中。请重新表述你的问题。另外：计算样条曲线非常容易... - Dr. belisarius

@Will 同时请注意：按照您的方式构建的管道可能不包含样条，因为它们将直接通过顶点路由，而样条将不存在。 - Dr. belisarius

@belisarius 我创建了一个Catmull-Rom样条曲线，它将始终穿过控制点本身。在图像中，您可以将样条曲线密度视为1，即仅包含控制点。 - Will Kru

@Will 环是居中的，但视觉效果很奇怪。 - Dr. belisarius

Answer 2

我不知道你选择的编程语言是什么，但如果你会使用MatLab，已经有一些可用的实现了。即使你使用另一种语言，其中的一些代码也可能足够清晰，以启发重新实现。

关键点是，如果你不想让你的管子在连接顶点时扭曲，那么你不能在本地确定基础，而需要沿着曲线传播它。 jalexiou 提出的 Frenet frame 是一种选择，但更简单的东西也可以正常工作。

在我的形成阶段，我做了一个简单的MatLab实现，称为 tubeplot.m（基于简单的非 Frenet 传播），通过谷歌搜索，我可以看到来自 kth.se 的Anders Sandberg已经完成了一个同名（重新？）实现，可以在http://www.nada.kth.se/~asa/Ray/Tubeplot/tubeplot.html上获得。

编辑： 以下是tubeplot.m中简单实现的伪代码。我发现它非常健壮。

计划是沿着曲线传播两个法向量a和b，以便在曲线上的每个点上，a、b和曲线的切线将形成一个正交基，该基“尽可能接近”前一个点使用的基。 使用这个基础，我们可以找到管道周围的点。

// *** Input/output ***
// v[0]..v[N-1]: Points on your curve as vectors
//               No neighbours should overlap
// nvert: Number of vertices around tube, integer.
// rtube: Radius of tube, float.
// xyz: (N, nvert)-array with vertices of the tube as vectors


// *** Initialization ***
// 1: Tangent vectors
for i=1 to N-2:
    dv[i]=v[i+1]-v[i-1]
dv[0]=v[1]-v[0], dv[N-1]=v[N-1]-v[N-2]

// 2: An initial value for a (must not be pararllel to dv[0]):
idx=<index of smallest component of abs(dv[0])>
a=[0,0,0], a[idx]=1.0

// *** Loop ***
for i = 0 to N-1:
    b=normalize(cross(a,dv[i]));
    a=normalize(cross(dv[i],b));
    for j = 0 to nvert-1:
        th=j*2*pi/nvert 
        xyz[i,j]=v[i] + cos(th)*rtube*a + sin(th)*rtube*b

实现细节：通过预计算cos和sin，您可能可以加速处理速度。另外，为了获得稳健的性能，应该将输入点融合在比如0.1*rtube更近的距离内，或者至少测试所有dv向量都是非零的。

希望对你有所帮助

- Janus

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这是在Android平台上的JAVA。这看起来确实像我想要的东西，但是.m文件对我来说是无法阅读的，因为它似乎不是常见的代码。 - Will Kru

Answer 3

您需要了解微分几何中的 Frenet 公式。请参考图2.1，其中有一个螺旋线的示例。

曲面和曲线

- John Alexiou

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+1 我在回答中只使用了与该问题相关的部分。 - Dr. belisarius

Answer 4

对线段和上向量进行叉积运算将会得到一个垂直于两者的向量（除非线段恰好指向上方或下方），我将其称为水平向量。对水平向量和线段进行叉积运算，将会得到另一个与线段和前一个向量垂直的向量（我们称之为垂直向量）。然后，通过使用公式 lineStart + cos theta * horizontal + sin theta * vertical，其中 theta 取值范围为 0 - 2Pi，可以得到圆形坐标。

编辑：要获取两个线段中点的坐标，可以使用两个线段向量的和来计算平均值。

- Jackson Pope