浮点数

Question

我在阅读一本名为《Learning Python Fourth Edition》的PDF教程，现在我遇到了一个问题，因为我在Python方面基本上是初学者。我指的是这部分内容： 现在我不理解第一个示例的解释。它确实说： It turns out that there are two ways to print every object: with full precision(as in the first result shown here), 但这个“with full precision”是什么意思呢？它可能在文本中为Python程序员提供非常简单的解释，但我似乎不太明白。

- Loko

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请参阅 Python 文档中的 浮点数算术：“在运行 Python 的典型机器上，Python 浮点数可用 53 位精度”。 - Jörg Mäder

了解“精确度”和“准确度”之间的区别是有帮助的。IEEE浮点数不能准确地表示每个数字，但您可以精确地打印出它们所代表的内容。 - Wooble

你能否评论一下我的新答案？你想要针对你的悬赏问题得到什么具体的回答？ - Antti Haapala -- Слава Україні

@AnttiHaapala，我并不需要得到具体的答案。我只是想在这个问题上设置赏金，以便引起更多人对这个问题的关注。 - Loko

Answer 1

这不是Python的问题，而是浮点数本质上的问题。事实证明，计算机在表示数字方面表现得很差。谁知道呢？

如果您有时间，我建议阅读《计算机科学家应该了解的浮点运算知识》。

现在，关于Python的实际问题，每个对象都有一个名为__str__和一个名为__repr__的方法。这些方法应该产生要在各种情况下显示的字符串。如果您在任何对象上使用内置的repr或str函数，或者在字符串格式化中使用"%r"或"%s"格式，您将看到这些字符串。当您在交互式提示符下评估某些内容时，默认会获得repr。当您将某些内容传递给print时，默认会获得str。

浮点数对象的__repr__被定义为以最大精度（至少在十进制下）表示它们，而它们的__str__被定义为以更接近用户所需的形式显示。用户不想知道浮点数不是实数，因此不会向他们显示额外的精度。

- kwatford

Answer 2

“str”和“repr”的区别以及“完全精度”是什么意思的答案，取决于Python版本。

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repr(f)的行为在3.1和2.7中发生了变化。

• 在2.7之前（包括Python 3.0），repr(f)会给出最多17个有效数字，就像使用%17g格式化一样。 IEEE-754浮点值具有53个有效二进制位，大约相当于16个十进制位。 17个有效数字保证每个二进制值产生不同的十进制值。

• 在Python 2.7和3.1中，repr(f)变得更加人性化，同时保持精度：

float类型的x的repr()在很多情况下更短：它现在基于最短的十进制字符串，该字符串保证四舍五入后回到x。与Python之前的版本一样，保证float(repr(x))可以恢复x。

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str(f)在Python 3.2中的行为发生了变化：

• 在2.x，3.0和3.1中：str(f)会给出十进制值，舍入到仅有12个有效数字，就像使用%12g格式化一样；精度由Objects/floatobject.h中的PyFloat_STR_PRECISION宏控制。

• 在3.2+中，str(f)的行为与repr(f)完全相同——自从3.1以来，repr输出更加人性化，而且由于str(f)失去了精度，因此决定从Python 3.2开始，str(f)应该与repr(f)相同。

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以下示例演示了repr行为的更改。旧行为如下：

Python 2.6.8 (unknown, Jan 26 2013, 14:35:25) 
[GCC 4.7.2] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 3.1415 * 2
6.2830000000000004
>>> 

而新行为是：

Python 2.7.3 (default, Mar 13 2014, 11:03:55) 
[GCC 4.7.2] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 3.1415 * 2
6.283

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在 Python 3.2 之前，str 的旧行为是将值四舍五入到 12 个有效数字，导致信息丢失：

Python 2.7.3 (default, Mar 13 2014, 11:03:55) 
[GCC 4.7.2] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> str(0.1000000000000999)
'0.1'
>>> 0.1 == 0.1000000000000999
False
>>> repr(0.1000000000000999)
'0.1000000000000999'

自 Python 3.2 起的新行为是像 repr 一样运作：

Python 3.2.3 (default, Feb 20 2013, 14:44:27) 
[GCC 4.7.2] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> str(0.1000000000000999)
'0.1000000000000999'
>>> repr(0.1000000000000999)
'0.1000000000000999'

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浮点数在Python中以IEEE-754双精度形式表示，其中一个数字占用64位，其中1位为符号，10位为指数，53位为尾数（实际数字），这就是四舍五入的原因。

许多值，如π或1/3无法准确地表示为IEEE-754二进制浮点值。即使是像0.01这样常见的数字也不能完全表示。

Python 3的float类型具有hex()方法，可以将数字转换为十六进制表示，这可以用于轻松查看问题。

>>> (0.01).hex()
'0x1.47ae147ae147bp-7'

因此，作为十六进制，数字0.01在二进制中的近似值为1.47AE147AE147A4147AE... · 2^-7；在53位有效数字中四舍五入得到最接近的数字，表示为1.47AE147AE147B · 2^-7。

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我在回答当f是浮点数时，repr(f)，str(f)，print(f)的精度问题时，详细说明了repr在2.7和3.1中的工作原理。

- Antti Haapala -- Слава Україні

Answer 3

基本上，计算机的浮点运算会存在舍入误差。因此，如果您执行 1.*1000./1000.，可能会得到 1.0000004 或类似的结果。这是计算机存储在内存中的内容。但是，你可能不想看到那个计算结果显示为 1.0000004。所以当你打印结果时，计算机会进行四舍五入，并显示简单的 1。但您必须知道，这不是计算机内存中实际的数值，而是您实际浮点数的一种舒适的可视化。

- leeladam

Answer 4

你正在阅读的书籍不够精确。如果你真的想要看到一个浮点数的完整精度，请使用decimal模块：

>>> import decimal
>>> decimal.Decimal(3.1415 * 2)
Decimal('6.28300000000000036237679523765109479427337646484375')

每个（有限的）二进制浮点数都可以准确地表示为（有限的）十进制浮点数。反之不成立 - 事实上，大多数十进制浮点数不能被准确地表示为（有限的）二进制浮点数。

对于旧版本的CPython，repr(a_float)生成了17位有效数字的十进制数。虽然证明这一点很困难，但事实证明，17位有效数字足以使IEEE-754“双精度”二进制浮点数（现在几乎所有机器都使用）实现的浮点数始终满足eval(repr(a_float)) == a_float，而16位有效数字则不够。17位有效数字不是“完全精度”，而是“足够精度，以便轮换总是起作用”。

在当前版本的CPython中，repr(a_float)生成最短的十进制字符串，使得eval(repr(a_float)) == a_float。这要困难得多。对于“随机”的浮点数，它可能仍然会产生17位小数，但对于人们倾向于手动输入的“简单浮点数”，它可能会产生与您输入的相同的字符串。

- Tim Peters

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你读过那本书吗？我在考虑要不要读另一版，但是听说这本书质量很差？ - Loko

Answer 5

全精度是指数字存储时保留所有小数位。由于计算机以二进制方式存储数字，这通常不会是100％准确的。

- M4rtini

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是的，因为我们使用十进制系统而计算机使用二进制系统。在一个系统中具有有限小数位数的浮点数，在另一个系统中可能具有无限数量的小数位数。 - Jörg Mäder

是的，这是正确的。这意味着，当使用固定位数表示十进制浮点值时，通常会得到与原始值不完全匹配的结果。这代表了一些“信息损失”，当您要求Python再次以十进制形式打印数字时，它将显示为与原始值的差异。 - Peter

谢谢您的回答，但我认为leeladam的回答解释得更好。 - Loko

好的，我现在还有一个问题。这个：print(0.1+0.1+0.1-0.3) 给我的结果是5.55111512313e-17，这是同样的东西吗？ - Loko

是的，同样的事情。如果你执行print(0.1 + 0.1 + 0.1)，你会发现它是0.300000....4。所以当你减去0.3时，你得到一个非常接近于零但不完全为零的小数。 - M4rtini

Answer 6

这可能是一个相当令人困惑的问题！数学上，3.1415 * 2 = 6.283，但在浮点运算中，由于四舍五入而引入了小误差。大多数显示此类计算结果的系统会自动纠正这一点，并给出您期望的结果。在Python中，当您print一个数字时，就会发生这种情况。另一方面，repr则按原样显示它，包括微小的误差。通常，误差非常小，不值得担心，但如果您在高精度环境中工作，则可能更喜欢避免误差的decimal模块。

- aquavitae

Answer 7

Python类应该定义两个特殊方法：__repr__和__str__。 当您想要对象本身的“精确”表示时，将调用第一个方法。这意味着如果您复制/粘贴__repr__的输出，您将获得完全相同的对象。但是，这种表示并不总是人类可读的（特别是在处理更复杂的对象时），因此有__str__。它的功能是提供对象值的文本表示，这是人类友好的。

- smeso