我对Python和Numpy都比较陌生。我看了几篇教程，但仍然对dim、rank、shape、axis和dimension等概念有些困惑。我的思维好像被矩阵表示法困住了。所以，如果你说A是长这样的一个矩阵：
A =
1 2 3
4 5 6
那么我所能想到的只有一个2x3矩阵（两行三列）。在这里，我理解它的形状是2x3。但我真的无法跳出二维矩阵的思维模式。例如，当dot()函数文档中说“对于N个维度，它是a的最后一维和b的倒数第二维的乘积之和”时，我感到很困惑，无法理解这一点。我不明白如果V是一个N:1的向量而M是N:N的矩阵，dot(V,M)或dot(M,V)如何工作，以及它们之间的区别。
那么请有人解释一下什么是N维数组，什么是形状，什么是轴，以及它们如何与dot()函数的文档相关？如果解释可以形象化表述就更好了。
NumPy数组的维度必须以数据结构的意义理解，而不是数学意义，即它是获取标量值所需的标量索引数量。(*)
例如，这是一个3维数组：
>>> X = np.arange(24).reshape(2, 3, 4)
>>> X
array([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
索引一次会得到一个二维数组（矩阵）：
>>> X[0]
array([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]])
X 的秩是它的维数。>>> X.ndim
3
>>> np.rank(X)
3
轴大致等同于维度；它在广播操作中使用：
>>> X.sum(axis=0)
array([[12, 14, 16, 18],
[20, 22, 24, 26],
[28, 30, 32, 34]])
>>> X.sum(axis=1)
array([[12, 15, 18, 21],
[48, 51, 54, 57]])
>>> X.sum(axis=2)
array([[ 6, 22, 38],
[54, 70, 86]])
ndim的名称，也不符合线性代数定义的rank。np.dot，你需要理解的是，在NumPy中有三种表示向量的方式：1维数组、形状为(n, 1)的列向量或形状为(1, n)的行向量。（实际上还有更多的方式，例如作为一个形状为(1, n, 1)的数组，但这些方式非常少见。）当两个参数都是1维时，np.dot执行向量乘法，当一个参数是1维而另一个参数是2维时，执行矩阵-向量乘法，否则执行（广义的）矩阵乘法：>>> A = np.random.randn(2, 3)
>>> v1d = np.random.randn(2)
>>> np.dot(v1d, A)
array([-0.29269547, -0.52215117, 0.478753 ])
>>> vrow = np.atleast_2d(v1d)
>>> np.dot(vrow, A)
array([[-0.29269547, -0.52215117, 0.478753 ]])
>>> vcol = vrow.T
>>> np.dot(vcol, A)
Traceback (most recent call last):
File "<ipython-input-36-98949c6de990>", line 1, in <module>
np.dot(vcol, A)
ValueError: matrices are not aligned
A = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])。那么 A.sum(axis=0) == array([5, 7, 9])，即每列的总和，而 A.sum(axis=1) == array([ 6, 15])，即每行的总和。 - Fred Foonp.dot是矩阵乘法的一般化。在常规矩阵乘法中，一个（N，M）形状的矩阵与一个（M，P）形状的矩阵相乘会产生一个（N，P）形状的矩阵。结果形状可以看作是通过将两个形状压缩在一起（（N，M，M，P））然后删除中间数字M（以产生（N，P））形成的。这就是np.dot在推广到更高维度的数组时保留的属性。"对于N个维度，它是a的最后一个轴和b的倒数第二个轴的乘积之和"。
它在讲述这一点。一个形状为（u，v，M）的数组与一个形状为（w，x，y，M，z）的数组相乘会产生一个形状为（u，v，w，x，y，z）的数组。
让我们看看当应用于
In [25]: V = np.arange(2); V
Out[25]: array([0, 1])
In [26]: M = np.arange(4).reshape(2,2); M
Out[26]:
array([[0, 1],
[2, 3]])
首先，容易的部分：
In [27]: np.dot(M, V)
Out[27]: array([1, 3])
这里并没有什么出乎意料的，只是矩阵向量乘法。
现在考虑一下：
In [28]: np.dot(V, M)
Out[28]: array([2, 3])
看一下 V 和 M 的形状：
In [29]: V.shape
Out[29]: (2,)
In [30]: M.shape
Out[30]: (2, 2)
np.dot(V,M) 就像是一个(2,2)-形状的矩阵与一个(2,)-形状的矩阵相乘，应该生成一个(2,)-形状的矩阵。
V 的最后一个（也是唯一一个）轴和 M 的倒数第二个轴（即 M 的第一个轴）被乘并相加，只剩下 M 的最后一个轴。np.dot(V, M) 看起来好像 V 有1行和2列：[[0, 1]] * [[0, 1],
[2, 3]]
因此，当V乘以M时，np.dot(V, M)等于
[[0*0 + 1*2], [2,
[0*1 + 1*3]] = 3]
然而，我并不推荐尝试以这种方式可视化NumPy数组——至少我从来没有这样做过。我几乎完全关注形状。
(2,) * (2,2)
\ /
\ /
(2,)
只需想象“中间”轴是虚线，并从结果形状中消失即可。
np.sum(arr, axis=0)告诉NumPy将arr中的元素相加，消除第0个轴。如果arr是二维的，则第0个轴是行。例如，如果arr如下所示：
In [1]: arr = np.arange(6).reshape(2,3); arr
Out[1]:
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5]])
那么np.sum(arr, axis=0)将沿着列求和，因此消除了第0轴（即行）。
In [2]: np.sum(arr, axis=0)
Out[2]: array([3, 5, 7])
In [3]: np.sum(arr, axis=1)
Out[3]: array([ 3, 12])
np.sum（arr，axis = 0）不会影响arr。它返回一个新的数组，不会改变arr。至于可视化方面，请注意上面部分，我描述了像“5等于1 + 4”之类的事情。在结果中寻找5，在arr中寻找1和4。你看到这是如何对同一列中的数字求和的吗？ - unutbuaxis=0 时，可以将其理解为 axis 0 对应于2D中的“行”（我们可以稍后考虑更高维度）。这指定了求和的“运动方向”。迭代沿着行向下移动。由于同一列中的所有数字都被聚合成一个数字，因此行轴消失（被消除），剩下的只有每列一个数字。因此结果少了一个轴。被消除的轴是表示行的轴，即0轴。因此，当您看到 axis=0 时，对形状的净影响是 0轴 被消除。 - unutbu针对您的情况，
A 是一个二维数组，也就是矩阵，其形状为 (2, 3)。根据 numpy.matrix 的文档字符串：
矩阵是一种特殊的二维数组，通过操作可以保持其二维性。
numpy.rank 返回数组的 维度数，与线性代数中的 秩 概念非常不同，例如，A 是一个维度/秩为 2 的数组。
np.dot(V, M) 或 V.dot(M) 将矩阵 V 与 M 相乘。请注意，numpy.dot 会尽可能地进行乘法运算。如果 V 是 N:1 而 M 是 N:N，V.dot(M) 将引发一个 ValueError。e.g.:
In [125]: a
Out[125]:
array([[1],
[2]])
In [126]: b
Out[126]:
array([[2, 3],
[1, 2]])
In [127]: a.dot(b)
---------------------------------------------------------------------------
ValueError Traceback (most recent call last)
<ipython-input-127-9a1f5761fa9d> in <module>()
----> 1 a.dot(b)
ValueError: objects are not aligned
我不理解形状为（N，）和（N，1）之间的区别以及它与dot()文档的关系。
形状为（N，）的V表示长度为N的一维数组，而形状为（N，1）的表示具有N行，1列的二维数组：
In [2]: V = np.arange(2)
In [3]: V.shape
Out[3]: (2,)
In [4]: Q = V[:, np.newaxis]
In [5]: Q.shape
Out[5]: (2, 1)
In [6]: Q
Out[6]:
array([[0],
[1]])
np.dot的文档字符串所述：V.shape==(2,); M.shape==(2,2)：In [17]: V
Out[17]: array([0, 1])
In [18]: M
Out[18]:
array([[2, 3],
[4, 5]])
In [19]: np.dot(V, M) #treats V as a 1*N 2D array
Out[19]: array([4, 5]) #note the result is a 1D array of shape (2,), not (1, 2)
In [20]: np.dot(M, V) #treats V as a N*1 2D array
Out[20]: array([3, 5]) #result is still a 1D array of shape (2,), not (2, 1)
In [21]: Q #a 2D array of shape (2, 1)
Out[21]:
array([[0],
[1]])
In [22]: np.dot(M, Q) #matrix multiplication
Out[22]:
array([[3], #gets a result of shape (2, 1)
[5]])