Matlab：如何将矩阵转换为托普利茨矩阵

Question

Matlab：如何将矩阵转换为托普利茨矩阵

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考虑一个离散动力学系统，其中x[0]=rand()表示系统的初始条件。

我通过以下步骤生成了一个m×n矩阵——生成m个向量，每个向量都有不同的初始条件，并且每个向量的维数为N（N表示样本或元素的数量）。此矩阵称为R。使用R如何创建Toeplitz矩阵T？数学上，

 R =               [ x_0[0], ....,x_0[n-1];
                    ...,        ,.....;
                    x_m[0],.....,x_m[n-1]]

Toeplitz矩阵T =

                        x[n-1], x[n-2],....,x[0];
                        x[0], x[n-1],....,x[1];
                          :    :           :
                         x[m-2],x[m-3]....,x[m-1]

我尝试使用toeplitz(R)进行工作，但维度发生了变化。从数学上看，维度不应该改变。

- Sm1

首先，您并没有使用m个不同的初始条件。值x（1）永远不会改变。每个for循环迭代都将从完全相同的值开始。 - AlessioX

@Alessiox：抱歉，那是个打错字。我已经修正了。 - Sm1

你应该重新定义你的问题。目前你的问题描述不是很清楚。矩阵R基本上包含了所有长度为N的m个序列/信号。因此，在描述R时，你正确地使用了索引n（离散时间）和m（序列索引）。但在T中，你把事情搞混了。 - AlessioX

感谢您的帮助和建议。我不太确定我是否正确理解了托普利茨矩阵的结构。这个问题基于题为“用于压缩感知的托普利茨结构混沌感知矩阵”的论文。下载链接是https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00530050/document。 - Sm1

B部分，第4页包含Toeplitz矩阵。您能否请看一下？在我的代码中，我已经对从离散动力系统生成的R进行了转置，该系统是混沌映射x，该矩阵的维数为N乘以m，其中m个不同的初始条件用于生成长度为N的m个不同时间序列/信号。在论文中，这个矩阵被表示为从混沌映射获得的phi，并且在第II节A节下的Eq（9）之后，phi是m乘以N。然后作者取phi的Toeplitz，在B部分给出。 - Sm1

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- AlessioX · Accepted Answer

根据Yu等人提供的文章（Toeplitz结构混沌感知矩阵用于压缩感知），涉及到两个混沌感知矩阵。让我们分别探讨它们。

1. 混沌感知矩阵（A节）

明确指出要创建这样的矩阵，您必须建立 m 个独立的信号（序列），每个序列都需要具有 N 的长度，并使用 m 个不同的初始条件（在]0;1[范围内），然后将这些信号按行连接在一起（即，一个信号=一行）。这实际上就是您的矩阵R，其正确性得到了正确评估。虽然我想建议一种代码改进方法：直接按行构建此类矩阵，而不是构建列然后转置矩阵。

R=zeros(m,N);
R(:,1)=rand(m,1); %build the first column with m initial conditions

请注意：通过运行randn（）函数，您会选择具有高斯（正态）分布的值，这些值可能不在论文中所述的范围] 0;1 [内（即在第9个方程式下面）。相反，使用rand（）函数可以在该范围内获取均匀分布的值。

之后，您可以根据for循环单独构建每一行。

for i=1:m
    for j=2:N %skip first column
        R(i,j)=4*R(i,j-1)*(1-R(i,j-1));
        R(i,j)=R(i,j)-0.5;
    end
end

Toeplitz混沌感知矩阵（第B节）

在第B节的开头明确指出，要构建Toeplitz矩阵，您应该考虑一个具有给定单个初始条件的单个序列x。因此，让我们构建这样的序列：

x=rand();
for j=2:N %skip first element
   x(j)=4*x(j-1)*(1-x(j-1));  
   x(j)=x(j)-0.5;
end

现在，要构建矩阵，您可以考虑以下几点：

第一行是什么样的？它看起来像序列本身，但是翻转了（即从n-1到0而不是从0到n-1）
第一列是什么样的？它是x的最后一个项目与范围0到m-2中的元素连接而成

让我们构建第一行（r）和第一列（c）：

r=fliplr(x);
c=[x(end) x(1:m-1)];

请注意：在Matlab中，索引从1开始，而不是从0开始（因此，我们从1到m-1而不是从0到m-2）。另外，end表示给定数组的最后一个元素。现在通过查看toeplitz()函数的帮助，可以清楚地说明您可以通过指定第一行和第一列来构建非平方Toeplitz矩阵。因此，最终，您可以构建这样的矩阵：

T=toeplitz(c,r);

这样的矩阵确实具有m*N的尺寸，正如论文中所述。

尽管作者都称其为\Phi，但它们实际上是两个不同的矩阵。
它们没有对类似Beta的矩阵进行Toeplitz变换（Toeplitz矩阵不是某种函数或运算符），也没有将其转化为Toeplitz矩阵。
首先是Beta-Like矩阵（即混沌感知矩阵），然后是Toeplitz-structured混沌感知矩阵：这种结构通常用于Toeplitz矩阵，即对角线恒定结构（沿对角线的所有元素具有相同的值）。