逼近方法

Question

逼近方法

mathapproximation

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我附上了一张图片：

_{(来源：piccy.info)} 在这张图片中，有一个在给定点上定义的函数图表。例如，在x=1..N的点上。

另一个图表是以半透明曲线绘制的，我想从原始图表中得到它，也就是说，我想将原始函数近似为平滑函数。

有没有什么方法可以做到这一点？

我听说过最小二乘法，它可以用于通过直线或抛物线函数逼近函数。但我不需要用抛物线函数逼近。我可能需要用三角函数来逼近它。那么有没有相应的方法呢？还有一个想法，如果我们能推导出三角函数的最小二乘法，那么是否可以将其用于此问题？

还有一个问题！如果我使用离散傅里叶变换，并将函数视为波的总和，那么噪声可能具有特殊的特征，通过这些特征我们可以定义它，然后可以将相应的频率设为零，然后执行反傅里叶变换。如果您认为这是可能的，那么您可以提出什么建议来确定噪声的频率？

- maximus

我不知道使用正弦、余弦还是多项式更好。是的，我知道样条曲线，但我只用它们来处理抛物线函数。我还没有尝试用三角函数进行逼近。 - maximus

实际上，我想对图像进行二值化处理。不使用任何二值化方法，如Otsu、Bernsen等——这些方法使用灰度图像数据和一些阈值进行二值化。 - maximus

还有一点要说 - 我想要一个快速的方法。时间很重要。 - maximus

不，我的意思不是输出曲线必须具有0和1的值。我希望得到一个平滑的曲线作为输出。在获得这个平滑曲线之后，我可以识别其局部最小值和最大值，并计算图像行中每个像素的局部阈值值，它必须是该像素周围一些局部最小值和最大值的平均值。 - maximus

为了构建阈值线，我需要在该点周围取几个局部最大值和最小值，并计算平均值。这将成为每个像素的阈值值。 - maximus

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5个回答

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在免费的R中使用loess。例如，loess函数可以近似一个嘈杂的正弦曲线。

_{(来源：stowers-institute.org)}

如您所见，您可以通过span来调整曲线的平滑程度。

以下是这里的一些示例R代码：

逐步程序

让我们取一个正弦曲线，添加一些“噪声”，然后看看loess的“span”参数如何影响平滑曲线的外观。

创建一个正弦曲线并添加一些噪声：

period <- 120 x <- 1:120 y <- sin(2*pi*x/period) + runif(length(x),-1,1)

在这个嘈杂的正弦曲线上绘制点：

plot(x,y, main="Sine Curve + 'Uniform' Noise") mtext("showing loess smoothing (local regression smoothing)")

使用默认的span值0.75应用loess平滑：

y.loess <- loess(y ~ x, span=0.75, data.frame(x=x, y=y))

计算整个曲线上的loess平滑值：

y.predict <- predict(y.loess, data.frame(x=x))

沿着已经绘制的点绘制平滑的loess曲线：

lines(x,y.predict)

- Jacob

为了确定所需的结果是否已获得，必须满足什么条件？我指的是期望曲线。如果图像某些地方颜色差异非常小，则与该图像部分对应的线将被视为噪音。我想知道这些方法在手机上如何工作。到目前为止，虽然已知算法，但我找不到解决方案。如果我们有理想的条形码，则一切正常，但如果它包含噪声，则整个过程都会浪费。 - maximus

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这被称为曲线拟合。最好的方法是找到一个可以帮你完成此操作的数值库。这里有一个页面展示了如何使用scipy进行曲线拟合（点击此处）。该页面上的图片展示了代码的功能：

_{（来源：scipy.org）}

现在只需要4行代码，但作者并没有解释它。我会在这里简要解释一下。

首先，您必须决定您想要的答案形式。在这个例子中，作者想要一个形式为

"f(x) = p0 cos (2π/p1 x + p2) + p3 x" 是一个数学公式，其中p0、p1、p2和p3是常数。它可以用于描述一个曲线。通过使用scipy库中的求解器，可以找到这个曲线的四个常数。需要提供一个误差函数，以便scipy可以根据样本数据点来检查其猜测值与实际值的接近程度。

fitfunc = lambda p, x: p[0]*cos(2*pi/p[1]*x+p[2]) + p[3]*x # Target function
errfunc = lambda p: fitfunc(p, Tx) - tX # Distance to the target function

"errfunc"函数只需要一个参数：长度为4的数组。它将这些常量插入公式中，计算候选曲线上的一组值，然后减去采样数据点tX的数组。结果是一组误差值的数组；很可能scipy将对这些值的平方和进行求和。

然后，只需放入一些初始猜测值，scipy.optimize.leastsq就会计算，试图找到一组使误差最小化的参数p。

p0 = [-15., 0.8, 0., -1.] # Initial guess for the parameters
p1, success = optimize.leastsq(errfunc, p0[:])

结果p1是一个包含四个常量的数组。success如果求解器实际找到了解，则为1、2、3或4。（如果errfunc足够疯狂，求解器可能会失败。）

- Jason Orendorff

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你可以使用数字滤波器，如FIR滤波器。最简单的FIR滤波器只是一个运行平均值。如果需要更复杂的处理，请查看FFT。

- Jim C

我会考虑一下的！谢谢！这可能有些复杂，但是结果应该会很好，我认为。 - maximus

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这看起来像是多项式逼近。您可以在Excel中玩弄多项式（在图表上添加趋势线，选择多项式，然后将阶数增加到所需的逼近级别）。应该不难找到相应的算法/代码。

Excel还可以显示它为逼近得出的方程式。

- cdonner

我尝试了6次多项式逼近，结果不太理想，也许我应该尝试增加阶数... - maximus

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- Thorsten S. · Accepted Answer

很不幸，这里提供的许多解决方案都不能解决问题，或者它们是完全错误的。有许多方法可以解决特定条件和要求的问题，您必须了解！

a) 近似理论：如果您有一个非常清晰定义的函数（由定义或数据给出）且您想尽可能精确地跟踪它，则使用Chebyshev或Legendre多项式的多项式或有理逼近，这意味着您通过多项式或傅里叶级数逼近函数。

b) 插值：如果您有一个函数，其中给出了一些点（但不是整个曲线！）并且您需要一个函数来穿过这些点，则可以使用几种方法：

Newton-Gregory、带分裂差异的牛顿、拉格朗日、埃尔米特、样条。

c) 曲线拟合：您有一个具有给定点的函数，并且您想绘制一个具有给定函数的曲线，该函数尽可能接近曲线。对于这种情况，有线性和非线性算法。

您的绘图意味着：

- 它与数学函数远不相同。 - 它不是由数据或函数明确定义的。 - 您需要拟合曲线，而不是一些点。

你想要和需要的是什么

d) 平滑处理: 如果给定一个有噪声或快速变化元素的曲线或数据点，你只想看到随时间变化缓慢的变化。

你可以像Jacob建议的那样使用LOESS进行处理（但我发现这有些过度，特别是因为选择合理的跨度需要一些经验）。对于你的问题，我建议简单地使用Jim C.建议的移动平均法。

http://en.wikipedia.org/wiki/Running_average

抱歉，cdonner和Orendorff，你们的建议虽然出于好心，但完全错误，因为你们在使用正确的工具来解决错误的问题。

这些人使用了六次多项式来拟合气候数据，并且让自己非常尴尬。

http://scienceblogs.com/deltoid/2009/01/the_australians_war_on_science_32.php

http://network.nationalpost.com/np/blogs/fullcomment/archive/2008/10/20/lorne-gunter-thirty-years-of-warmer-temperatures-go-poof.aspx