剪切矩阵是基本变换的组合吗？

Question

我知道旋转、缩放、平移等变换的转换矩阵。我也知道剪切变换的矩阵。现在，我需要得到剪切矩阵--

[1 Sx 0]
[0 1  0]
[0 0  1]

在其他上述变换的组合形式中。尝试搜索、头脑风暴，但无法找到！谢谢！

- Kunal S. Kushwah

---

翻译和缩放对剪切没有影响，因为它们作用于矩阵的不同元素。旋转可以由3个剪切组成，但我没有听说过反过来做。你能换一种方式提问吗？你为什么需要将这个矩阵组合成其他变换？此外，一旦你组合了最终矩阵，你就无法知道它最初是如何组合的，因为许多不同的组合都可以导致该结果，那么你需要这个矩阵的情况是什么？ - user1118321

Answer 1

对于剪切角度为theta的x剪切操作，可归结为如下旋转和缩放：

(a) 逆时针旋转theta/2。

(b) 缩放，其中x缩放因子 = sin(theta/2)，y缩放因子 = cos(theta/2)。

(c) 顺时针旋转45度。

(d) 缩放，其中x缩放因子 = sqrt(2)/sin(theta)，y缩放因子= sqrt(2)。

- Kunal S. Kushwah

---

你是如何想出这个过程的？ - Ritika Gupta

Answer 2

可以做到，先进行旋转，然后非均匀缩放和反向旋转。你可以在这里找到细节，第三个问题http://www.cs.cmu.edu/~djames/15-462/Fall03/assts/15-462-Fall03-wrAssign1-answer.pdf。您也可以尝试以下OpenGL代码。它将矩形旋转45度，然后在x轴上进行比例缩放。然后以-26度旋转，即atan（0.5）。 0.5来自在x方向缩放后找到与x轴和一侧之间的角度。

glRotatef（-26.0,0.0,0.0,1.0）;

glScalef（2,1,1）;

glRotatef（45.0,0.0,0.0,1.0）;

glRectf（0,0,25.0,25.0）;

- Utkarsh Bhardwaj

Answer 3

在3D图形学中，我们经常使用一个4x4矩阵，其中包含16个有用的元素。单位4x4矩阵如下：

在这16个元素之间，有6种不同的剪切系数：

shear XY
shear XZ
shear YX
shear YZ
shear ZX
shear ZY

在剪切矩阵中，它们如下：

由于这个矩阵中完全没有旋转系数Rotation coefficients，六个剪切系数Shear coefficients以及三个缩放系数Scale coefficients能够让你使用神奇的三角函数(sin和cos)绕X、Y和Z轴旋转3D对象。

以下是一个关于如何使用剪切和缩放元素绕其Z轴（逆时针）旋转3D对象的示例：

使用剪切和缩放元素查看3种不同的旋转模式：

- Andy Jazz

Answer 4

剪切是一种基本的矩阵操作，因此虽然你可以将它们表示为“其他矩阵操作的组合”，但这样做真的很奇怪。剪切有两种形式：

| 1 V |    | 1 0 |
| 0 1 | ,  | V 1 |

相比之下，旋转矩阵涉及的内容更多。如果您想使用旋转来表示剪切，那么建议您先将这些东西写出来，以确定需要哪些内容。旋转矩阵的形式如下：

| cos -sin |
| sin  cos |

这可以由三个特定的剪切矩阵组成，R = Sx x Sy x Sx 的序列：

| cos(a) -sin(a) |   |     1      0 |   | 1  sin(a) |   |     1      0 |
|                | = |              | x |           | x |              |
| sin(a)  cos(a) |   | -tan(a/2)  1 |   | 0    1    |   | -tan(a/2)  1 |

现在，我们可以进行一些琐碎的矩阵操作来得到Sy。首先进行左乘：

      R = Sx x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = Sx⁻¹ x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = I x Sy x Sx
Sx⁻¹ x R = Sy x Sx

然后进行右乘：

Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy x Sx x Sx⁻¹
Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy x I
Sx⁻¹ x R x Sx⁻¹ = Sy

作为一种微不足道的改写，一个剪切现在变成了两个剪切和一个旋转。

但是更重要的问题是：为什么需要将剪切矩阵表达为其他形式？它已经是一个基本的矩阵形式，你处于什么奇怪的计算环境中，或者你正在尝试做什么疯狂的事情，需要将一个基本变换表达为更加复杂、计算速度更慢的形式？=)

- Mike 'Pomax' Kamermans

---

离题了，你的观点应该是对ops问题答案的补充。我认为应该在评论中进行猜测。 - arkan