从贝塞尔曲线控制点中找到一条直线的方程

Question

我希望能够从以下svg路径找到y = ax2 + bx + c的曲线方程：

<path id="curve1"  d="M100,200 C100,100 400,100 400,200" />

这给出了四个点，可以在附图中看到。

• 100,200（紫色起点）
• 100,100（红色控制点1）
• 400,100（绿色控制点2）
• 400,200（蓝色终点）

维基百科有一篇很棒的文章，解释了贝塞尔曲线，但我不确定如何应用其中展示的数学知识来得到曲线的方程。 http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve 绘制的曲线，请点击查看图片

- Derek Ewing

Answer 1

你做不到。

你展示的SVG使用了立方路径，这意味着它使用了三阶参数曲线，其形式为：

fx(t) = x1 * (1-t)³ + x2 * 3 * (1-t)²t + x3 * 3 * (1-t)t² + x4 * t³
fy(t) = y1 * (1-t)³ + y2 * 3 * (1-t)²t + y3 * 3 * (1-t)t² + y4 * t³

这条曲线是按照t从0到1的范围绘制的。

所以你无法将这条曲线表示为y=ax²+b的形式，原因有两个：

1. 至少需要一个形式为ax³+bx²+c的公式；
2. 这是一个参数曲线，不是简单的函数图表；对于Bezier曲线，情况并非如此，y根本就不能用x来表示，而是同时控制x和y值的“主参数”t。

我们知道，像y=ax²+b这样的二次函数只能模拟抛物线，但是从图像中我们可以看出，这条曲线看起来根本不像其中任何一种（甚至不像被压扁的抛物线），因此在这种情况下，我们甚至无法用二次函数“勉强近似”这条曲线。

（有时候你可以做到这一点，但在这种情况下肯定不行）

- Mike 'Pomax' Kamermans

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谢谢Mike，我正在阅读你的入门指南（http://pomax.github.io/bezierinfo/），试图弄清楚该怎么做。是否可以计算由y = mx + c给出的直线和三次路径的交点？ - Derek Ewing

将曲线旋转，使其x轴与该直线对齐，然后在曲线上执行根查找（参见http://pomax.github.io/bezierinfo/#intersections） - Mike 'Pomax' Kamermans

假设我已知： fx(t) = x1 * (1-t)³ + x2 * 3 * (1-t)²t + x3 * 3 * (1-t)t² + x4 * t³
fy(t) = y1 * (1-t)³ + y2 * 3 * (1-t)²t + y3 * 3 * (1-t)t² + y4 * t³ 并且我从你的文章中得到了三个t值(0.315、0.041和0.932)，并且我知道y=0，因为我们将直线与轴对齐了。我能否重复使用对齐功能中的角度、ca、sa、ox和0y变量来查找交点xy坐标？如果我不需要绘制曲线，并且希望不必找到所有曲线的XY值，那么我不需要这样做。 - Derek Ewing

抱歉，我忘记提到我已经更改了p0-p4的值和直线上的两个点，以匹配您文章中显示的值。即直线：（100,20），（195,255）三次曲线：（150,125），（40,30），（270,115），（145,200）。 - Derek Ewing

你不能直接找到三阶贝塞尔曲线的根，但可以运行所谓的Cardano算法，始终找到该曲线的三个根（尽管有些可能是复数根，因此我们会排除那些）。 - Mike 'Pomax' Kamermans