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求解4x4矩阵的逆矩阵 - 需要数值上最稳定的解法

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我想要求解一个4x4矩阵的逆。我的数字以定点格式存储(精度为1.15.16)。

使用浮点数运算，我通常只需构建伴随矩阵并除以行列式(即用暴力方法求解)。这在以前对我很有用，但是当处理定点数时，由于所有乘法操作导致了无法接受的精度损失。

注意：在定点运算中，我总是放弃某些最低有效位。

因此，什么是最稳定的求解矩阵逆的方法？我不太关心性能，但仅仅转换为浮点数会在我的目标体系结构上变得太慢。

普通的高斯消元法效果很好。这取决于你使用的库/类/结构。你可以看一下GSL。 - axblount
你的矩阵元素的数量级是否接近？ - David Nehme
为了最小化截断误差和其他不良影响，请使用“枢轴” - 请参阅《数值分析》中矩阵求逆章节。这是我迄今为止找到的最好的解释。 - DarenW
很抱歉，它们都散落在各个地方。 - Nils Pipenbrinck
您是否有该矩阵的近似条件数？我在答案中引用的论文可以成功处理几百的条件数，但这是针对8x8或32x32矩阵的，因此您可能会做得更好。 - Chris Johnson
6个回答
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元答：它真的是一个通用4x4矩阵吗？ 如果您的矩阵有特殊形式，则有直接的反演公式，可以快速并且保持操作计数较低。

例如，如果它是从图形学中的标准齐次坐标变换：

[ux vx wx tx]
[uy vy wy ty]
[uz vz wz tz]
[ 0  0  0  1]

假设有旋转矩阵、缩放矩阵、平移矩阵的组合，
那么有一个容易推导出的直接公式，即
[ux uy uz -dot(u,t)]
[vx vy vz -dot(v,t)]
[wx wy wz -dot(w,t)]
[ 0  0  0     1    ]

（从链接页面中盗取的ASCII矩阵。）

对于定点数精度损失，你可能无法超越那个。

如果您的矩阵来自您知道其具有更多结构的某个领域，则很可能会有一个简单的答案。

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如果涉及比例因素，我认为这种方法可能无法奏效？ - Alnitak
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我认为答案取决于矩阵的确切形式。标准分解方法（LU、QR、Cholesky等）与枢轴旋转（必要条件）在固定点上表现相当好，特别是对于小的4x4矩阵。请参考Press等人的书《Numerical Recipes》中对这些方法的描述。 这篇论文提供了一些有用的算法，但不幸的是它被设置了付费墙。他们建议使用（枢轴）Cholesky分解，并增加了一些过于复杂而无法在此列出的额外功能。
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我想回答Jason S提出的问题：您确定需要反转矩阵吗？这几乎从不必要。不仅如此，它经常是个坏主意。如果您需要解决Ax = b，直接解决系统比将b乘以A逆更稳定。即使您必须为许多b值重复解决Ax = b，反转A仍不是一个好主意。您可以对A进行因式分解（例如LU分解或Cholesky分解）并保存因子，这样每次都不必重新执行该工作，但仍需使用因式分解解决系统。
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让我问一个不同的问题：您是否绝对需要反转矩阵（称为M），还是需要使用矩阵逆来解决其他方程？（例如，对于已知的M、b，Mx = b）通常有其他方法可以在不明确需要计算逆的情况下完成此操作。或者，如果矩阵M是时间的函数，并且它变化缓慢，那么您可以一次计算完整的逆，然后有迭代的方法来更新它。
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在执行正常算法之前，您可以考虑将数字加倍到1.31。这将使乘法的数量增加一倍，但是您正在进行矩阵反演，而您所做的任何事情都将与处理器中的乘数密切相关。

对于任何想要找到4x4反演方程的人，您可以使用符号数学软件来解决它们。TI-89甚至可以做到这一点，尽管需要几分钟的时间。

如果您告诉我们矩阵反演为您做了什么，并且它如何与您的其他处理过程相匹配，我们可能会建议替代方案。

-亚当

使用符号数学程序来求逆一个通用矩阵，它会提供公式，让你可以更轻松地进行计算。 - Karl
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如果矩阵表示仿射变换（4x4矩阵多次情况下是如此，只要您不引入缩放组件），则其逆矩阵就是上部分3x3旋转部分的转置，最后一列取相反数。显然，如果您需要通用解决方案，则研究高斯消元可能是最简单的方法。
这个答案是不正确的。请查看Adrian的答案，它是正确的，并且方向相同。 - Suma
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