获取n个随机数使它们的总和为m

Question

我想获取N个随机数，它们的总和为一个给定的值。

例如，假设我想要5个随机数，它们的总和为1。

那么，一个有效的可能性是：

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

另一个可能性是：

0.8 0.1 0.03 0.03 0.04

等等。我需要这个来创建模糊C均值的所有物矩阵。

- marionmaiden

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可能是随机数加起来等于100：Matlab的重复问题。 - jberryman

使用均匀分布？非负数？在范围[0,1]内？ - smci

Answer 1

简短回答：

生成N个随机数，计算它们的总和，将每个随机数除以总和并乘以M。

详细回答：

上述方法不会产生均匀分布，这可能是根据这些随机数用途的问题。Matti Virkkunen提出了另一种方法：

在0到1之间生成N-1个随机数，在列表中添加数字0和1本身，对它们进行排序，并取相邻数字的差。

如此处所解释的那样，这会产生均匀分布。

- Guillaume

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然后乘以M（除非M像示例中一样为1）。 - ILMTitan

随着N的增加，方差趋近于零，因此这不是一个良好的随机化。 - HAL9000

我想跟上“这个解决方案确实提供了分布良好的答案”热潮。 - Ivan

这个答案很糟糕。请查看这个回答，它使用美观的图表证明了这个解决方案的错误：https://dev59.com/iWsz5IYBdhLWcg3wNE1q#8068956 - Eddified

请查看下面的答案，其中的差异更加准确。 - Harish

Answer 2

生成 N-1 个介于0和1之间的随机数，将数字0和1加入列表中，对列表进行排序，并取相邻数字的差。

- Matti Virkkunen

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我不会对我完全不理解的数学问题做出任何保证。 - Matti Virkkunen

目前看来，这似乎是唯一一个能产生均匀分布的解决方案（除非我验证时犯了错误，这种情况总是有可能的）。 - Accipitridae

今天，我遇到了同样的问题，发现你的答案非常有帮助。经过一些基本计算，我可以证明所有的 N 个变量都是由相同的概率密度函数 f(x) = M^(1 - N) (-1 + N) (M - x)^(-2 + N) 绘制的。请注意，它的平均值为 M/N，符合预期。 - Sungmin

要得到“0和8之间”的结果，请在算法中使用数字8而不是1，并将N设置为3。它的原理类似于取一根长度固定的绳子，在随机位置标记后，然后在标记处剪断。这样你就会得到N段长度不同的绳子，它们加起来等于原始长度。 - Matti Virkkunen

如果我有一个数字下限，有没有办法做到这一点？ 数字必须大于A。 - Gaurav Fotedar

Answer 3

值得注意的是目前被接受的答案并不能给出均匀分布：

"只需生成N个随机数，计算它们的和，再将每个数除以总和"

让我们看一个当N=2且M=1的简单情况。这是一个微不足道的例子，因为我们可以生成一个列表[x,1-x]，其中选择x在范围(0,1)内均匀分布。所提出的解决方案生成一对[x/(x+y),y/(x+y)]，其中x和y在(0,1)上均匀分布。为了分析这个问题，我们选择一些z，使得0<z<0.5，并计算第一个元素小于z的概率。如果分布是均匀的，则该概率应为z。然而，我们得到

Prob(x/(x+y) < z) = Prob(x < z(x+y)) = Prob(x(1-z) < zy) = Prob(x < y(z/(1-z))) = z/(2-2z).

我进行了一些快速计算，发现目前唯一能够导致均匀分布的解决方案是由Matti Virkkunen提出的：

"生成0到1之间的N-1个随机数，将0和1本身添加到列表中，排序，然后取相邻数字之差。"

- Accipitridae

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在你的例子中，x+y = 1，因此P(\frac{x}{x+y} < z) = P(x < z)。你陈述的问题是P(x < y\frac{z}{1-z}) != P(x < y) P(x < \frac{z}{1-z})。如果这是真的，且\frac{z}{1-z} = 10，则P(x < 10y) = P(x < y) P(x < 10) = P(x < y) = 1/2，但实际答案是10/11。 - Apprentice Queue

@实习生队列：请注意，我只分析了上述文本中的0 < z < 0.5情况。你的假设 \frac{z}{1-z} = 10 意味着 z = 10/11。因此，你不能期望这些方程在这种情况下成立。 - Accipitridae

我认为你的分析不正确，因为正常/均匀是指值的分布，在将范围除以常数时不会改变。如果原始分布是均匀的，则除以总和会产生一个均匀分布，其总和为总和。同样适用于正态分布。 - user974465

@John：但你除以的数字取决于所选择的随机值（它不是一个常数），因此它可能会影响分布的均匀性。举个更明显的例子，如果你选择一个均匀随机值 x，然后将其除以 sqrt(x)，结果就不是均匀分布的。 - Steve Jessop

是的，提供的解决方案并不提供均匀分布。因为您正在对均匀分布应用约束条件，从而改变了分布。因此，虽然 .1 .1 .1 .1 .1 对于原始分布来说是一个很好的生成，但在这个约束条件下，它却不是。因此分布将会改变。 - Carlos Bribiescas

我有什么遗漏吗？我知道被接受的答案没有提供一个“正常”的分布，但是它不是提供了一个“均匀”的分布吗？“均匀”不是意味着每个数字都是同样随机的，不会更可能或不可能更高或更低吗？0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 加起来等于1。这是一个均匀分布。如果你的目标数字是57而不是1，那么取0.2，除以1，乘以57...然后你得到11.4 11.4 11.4 11.4 11.4，如果我错了，请纠正我，这也是一个均匀分布。人们总是说“显而易见的例子”，但是对我来说，这些例子一点也不明显。 - Eliezer Miron

Answer 4

很不幸，这里的一些答案如果您想要均匀随机数是错误的。保证统一随机数最简单（在许多语言中也是最快）的解决方案只需要：

# This is Python, but most languages support the Dirichlet.
import numpy as np
np.random.dirichlet(np.ones(n))*m

其中n是您想要生成的随机数的数量，m是生成数组的总和。这种方法产生正值，并且特别适用于生成总和为1的有效概率（让m = 1）。

- cgnorthcutt

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我发现总和并不总是完美地加起来等于M。 - Alex

Answer 5

生成N个正数，使它们随机相加等于正数M，其中每种可能的组合具有相同的概率：

• Generate N exponentially-distributed random variates. One way to generate such a number can be written as—

    number = -ln(1.0 - RNDU())
  

  where ln(x) is the natural logarithm of x and RNDU() is a method that returns a uniform random variate greater than 0 and less than 1. Note that generating the N variates with a uniform distribution is not ideal because a biased distribution of random variate combinations will result. However, the implementation given above has several problems, such as being ill-conditioned at large values because of the distribution's right-sided tail, especially when the implementation involves floating-point arithmetic. Another implementation is given in another answer.

• Divide the numbers generated this way by their sum.

• Multiply each number by M.

结果是N个数字，它们的总和大约等于M（我说“大约”是因为存在舍入误差）。另请参阅维基百科文章狄利克雷分布。

这个问题也等同于从N维单位单纯形中均匀生成随机变量的问题。

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然而，为了更好的准确性（与实践中经常使用的浮点数相比），您应该考虑生成n个随机整数，这些整数相加得到一个整数m * x，并将这些整数视为分母为x的n个有理数的分子（假设m是整数，则它们将总和为m）。您可以选择x为大数，如2的32次方或2的64次方，或其他具有所需精度的数字。如果x为1且m是整数，则解决了生成随机整数总和为m的问题。

以下伪代码展示了两种方法来生成给定正整数和的n个均匀随机整数，以随机顺序排列。（此算法由Smith和Tromble在2004年的“从单位简单形式均匀采样”中提出。）在下面的伪代码中：

- 方法PositiveIntegersWithSum返回n个大于0的整数，它们的总和为m，并以随机顺序排列。 - 方法IntegersWithSum返回n个大于等于0的整数，它们的总和为m，并以随机顺序排列。 - Sort(list)按升序对list中的项进行排序（请注意，排序算法超出了本答案的范围）。

 

METHOD PositiveIntegersWithSum(n, m)
    if n <= 0 or m <=0: return error
    ls = [0]
    ret = NewList()
    while size(ls) < n
      c = RNDINTEXCRANGE(1, m)
      found = false
      for j in 1...size(ls)
        if ls[j] == c
          found = true
          break
        end
      end
      if found == false: AddItem(ls, c)
    end
    Sort(ls)
    AddItem(ls, m)
    for i in 1...size(ls): AddItem(ret,
        ls[i] - ls[i - 1])
    return ret
END METHOD

METHOD IntegersWithSum(n, m)
  if n <= 0 or m <=0: return error
  ret = PositiveIntegersWithSum(n, m + n)
  for i in 0...size(ret): ret[i] = ret[i] - 1
  return ret
END METHOD

在这里，RNDINTEXCRANGE(a, b) 返回一个在区间 [a, b) 中均匀分布的随机整数。

- Peter O.

Answer 6

在Java中：

private static double[] randSum(int n, double m) {
    Random rand = new Random();
    double randNums[] = new double[n], sum = 0;

    for (int i = 0; i < randNums.length; i++) {
        randNums[i] = rand.nextDouble();
        sum += randNums[i];
    }

    for (int i = 0; i < randNums.length; i++) {
        randNums[i] /= sum * m;
    }

    return randNums;
}

- Vortico

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然后乘以M（除非M像示例中一样为1）。- ILMTitan Apr 14 at 18:49 - Tobias Kienzler

randNums[i] /= sum * m; 相当于 randNums[i] = randNums[i] / (sum * m);。但是需要修改为 randNums[i] = randNums[i] / sum * m;，以确保运算顺序正确。 - Bill the Lizard

Answer 7

只需生成N个随机数，计算它们的总和，然后将每一个数除以这个总和。在Guillaume的答案的基础上进行扩展，下面是一个可以实现该功能的Java函数。

public static double[] getRandDistArray(int n, double m)
{
    double randArray[] = new double[n];
    double sum = 0;

    // Generate n random numbers
    for (int i = 0; i < randArray.length; i++)
    {
        randArray[i] = Math.random();
        sum += randArray[i];
    }

    // Normalize sum to m
    for (int i = 0; i < randArray.length; i++)
    {
        randArray[i] /= sum;
        randArray[i] *= m;
    }
    return randArray;
}

在一次测试中，getRandDistArray(5, 1.0) 返回了以下内容：

[0.38106150346121903, 0.18099632814238079, 0.17275044310377025, 0.01732932296660358, 0.24786240232602647]

- Stevoisiak

Answer 8

1. 生成N-1个随机数。
2. 计算这些随机数的总和。
3. 将计算出的总和与期望的总和之间的差值添加到集合中。

现在你有N个随机数，它们的总和是期望的总和。

- Yuval

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除非你得到最后一个数字是负数。 - Blindy

Answer 9

你的限制条件有点少。很多程序都可以工作。

例如，数字是否服从正态分布？均匀分布？
我假设所有数字必须是正数，并且围绕平均值M/N均匀分布。

试试这个。

1. mean = M/N。
2. 生成N-1个0到2*mean之间的值。这可以是0到1之间的标准数字u，随机值为(2*u-1)*mean以创建一个适当范围内的值。
3. 计算N-1个值的总和。
4. 剩余的值是N-sum。
5. 如果剩余的值不符合约束条件（0到2*mean），则重复该过程。

- S.Lott

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“剩余值”并不是均匀选择的，因为(n-1)个均匀随机数之和并不是均匀的。 - Mike Housky