Sympy：如何将乘积对数简化为对数之和？

Question

Sympy：如何将乘积对数简化为对数之和？

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为了帮助理解，sympy.concrete提供了一些高效的工具来处理符号和。如果要将这些工具应用于符号积，则需要取对数。然而，简单地取对数并不能自动给出转换结果：

import sympy as sp
sp.init_printing() # display math as latex
z = sp.Symbol('z')
j,k = sp.symbols('j,k')
Prod = sp.Product( (z + sp.sqrt(1-4*j*z**2))**(-1), (j,1,k) )
sp.log(Prod)

提供

$\log{\left (\prod_{j=1}^{k} \frac{1}{z + \sqrt{- 4 j z^{2} + 1}} \right )}$

以所有可能的变化方式：

sp.log(Prod)
sp.log(Prod).expand()
sp.log(Prod).simplify()
sp.expand_log(sp.log(Prod),force=True)

问题：如何将其转换为对数的和？

相关：

如何在sympy中简化指数的对数？

- Sergey Dovgal

这是一个有效的问题，尽管在这种情况下，我会采用手工数学方法，在使用Sympy进行进一步处理之前自己完成这一步骤。当然，如果这是一系列操作的一部分，这不会是一个解决方案。 - Ignacio Vergara Kausel

当然，这只是一个“玩具示例”。我尝试使用CAS来避免在大表达式中手动犯愚蠢的错误，即使这需要更多时间。 - Sergey Dovgal

z是一个复数，或者\sqrt{1-4jz^2}是吗？如果在复平面上使用主分支对数，则乘积的对数不等于对数之和。SymPy正确地避免了这个错误。 - user6655984

是的，我又犯了同样的错误 :) Sympy默认假设有时让我感到有些困惑。例如，如果z和j不可交换怎么办？如果z是四元数呢？默认情况下总是假定z是复数，但我怀疑人类默认会假定一个变量是实数，并指定一个标志is_complex = True。好吧，这只是实现的细节，我必须习惯它。谢谢你的提醒。 - Sergey Dovgal

我编辑了问题，以显示使用force选项的expand_log也失败了。 - Sergey Dovgal

等等，如果变量 a 和 b 是复数，那么 log(ab) 作为多元函数是等于 log(a) + log(b) 的，不是吗？;) 好吧，也许不是主分支，但仍然... - Sergey Dovgal

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Sergey Dovgal · Accepted Answer

如果还没有符合需求的标准函数，我写了一个自己的函数，模仿以下行为：

sp.expand_log(expr, force=True)

该代码会递归地检查表达式，试图找到模式为 log(product) 的部分，并将其替换为 sum(log)。此外，该代码还支持多索引求和。

def concrete_expand_log(expr, first_call = True):
    import sympy as sp
    if first_call:
        expr = sp.expand_log(expr, force=True)
    func = expr.func
    args = expr.args
    if args == ():
        return expr
    if func == sp.log:
        if args[0].func == sp.concrete.products.Product:
            Prod = args[0]
            term = Prod.args[0]
            indices = Prod.args[1:]
            return sp.Sum(sp.log(term), *indices)
    return func(*map(lambda x:concrete_expand_log(x, False), args))

Example.

import sympy as sp
from IPython.display import display
sp.init_printing() # display math as latex
z = sp.Symbol('z')
j,k,n = sp.symbols('j,k,n')
Prod = sp.Product( (z + sp.sqrt(1-4*j*z**2))**(-1), (j,0,k))
expr = sp.log(z**(n-k) * (1 - sp.sqrt((1 - 4*(k+2)*z**2)/(1-4*(k+1)*z**2)) ) * Prod)
display(expr)

$\log{\left (z^{- k + n} \left(- \sqrt{\frac{- z^{2} \left(4 k + 8\right) + 1}{- z^{2} \left(4 k + 4\right) + 1}} + 1\right) \prod_{j=0}^{k} \frac{1}{z + \sqrt{- 4 j z^{2} + 1}} \right )}$

display(concrete_expand_log(expr))

$\left(- k + n\right) \log{\left (z \right )} + \log{\left (- \sqrt{\frac{- z^{2} \left(4 k + 8\right) + 1}{- z^{2} \left(4 k + 4\right) + 1}} + 1 \right )} + \sum_{j=0}^{k} \log{\left (\frac{1}{z + \sqrt{- 4 j z^{2} + 1}} \right )}$