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如何编写一个计算带小数阶乘的函数？

javascriptmathfactorialgamma-function
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如何在JavaScript中编写一个可以计算十进制数阶乘（或伽马函数）的函数？例如，我应该如何计算2.33!？

你尝试过什么？至少有一个可能是重复的：https://dev59.com/NW865IYBdhLWcg3wKLNP - Rubens Mariuzzo
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函数fact(n) { var x = 1 for (var i = 2; i <= n; i++) { x = x * i } 返回x } 但是这个函数无法计算带小数的阶乘，我不知道如何为其创建伽玛函数。 - Mich'
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我发现之前有一个答案，但它并不完全正确。 - Mich'
你是正确的 @Mich，点赞。 - Rubens Mariuzzo
常量数组似乎不正确。 - Mich'
这并不是一件简单的事情，那么你的背景是什么（你是否阅读并理解了http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function）？你在JavaScript中需要这个东西做什么？ - Bergi
6个回答
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我可能已经找到了一个现成的解决方案......它是Lanczos方法的实现，我在瑞典维基百科(http://sv.wikipedia.org/wiki/Gammafunktionen)中找到了它。该实现使用Python编写，声称正确性可达15个小数位。我将其移植到JS，并对一些随机值进行了交叉验证(http://www.efunda.com/math/gamma/findgamma.cfm)。 http://jsfiddle.net/Fzy9C/ 
var g = 7;
var C = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028,771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];

function gamma(z) {

    if (z < 0.5) return Math.PI / (Math.sin(Math.PI * z) * gamma(1 - z));
    else {
        z -= 1;

        var x = C[0];
        for (var i = 1; i < g + 2; i++)
        x += C[i] / (z + i);

        var t = z + g + 0.5;
        return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (z + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
    }
}

当然，它不支持虚数，因为js不支持。

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作为这里其他答案的替代方案，这里提供了一个更简单的伽马函数近似值，由Gergő Nemes于2007年提出（参见斯特林公式的维基百科页面）。

enter image description here

这可以直接在JavaScript中用一行代码实现:

function gamma(z) {
  return Math.sqrt(2 * Math.PI / z) * Math.pow((1 / Math.E) * (z + 1 / (12 * z - 1 / (10 * z))), z);
}

您可以在jsFiddle上看到此操作的实例。

对于z>8，此方法可精确到8位，但对于较小的z，仅能准确保留几位数字。它的准确度不如Lanczos逼近法，但更简单，也稍微快一些。

请注意伽马函数和阶乘函数略有不同。阶乘函数可以用伽马函数来定义：

function factorial(n) {
  return gamma(n + 1);
}
这里有什么不正确的地方吗？我想知道为什么会被踩。 - Peter Olson
@PeterOhlson 我不确定，但是当我在jsfiddle中执行factorial（2.44）时，我得到的是3.11...而不是1.27...。我也没有得到其他数字返回正确的值...对于我的投票抱歉，我投了赞成票，但遇到了这个问题，如果我看到它正常工作，我会再次投赞成票。看起来是一个很好的解决方案。 - apelsinapa
@apelsinapa 3.11是正确答案。1.27是阶乘(1.44)，而不是阶乘(2.44)。 - Peter Olson
@PeterOhlson 不符合以下网站的计算结果：http://www.danielsoper.com/statcalc3/calc.aspx?id=30，http://www.efunda.com/math/gamma/findgamma.cfm和http://www.miniwebtool.com/gamma-function-calculator/?number=2.44？ - apelsinapa
@apelsinapa 这是因为这是伽玛函数，而jsFiddle是阶乘函数。它们略有不同。在jsFiddle页面上，您将看到伽玛函数定义在阶乘函数内部。如果您愿意，这里是单独的伽玛函数。 - Peter Olson
@PeterOhlson 哈哈，抱歉我觉得可能是这瓶啤酒的原因 =) 顺便说一下，这是一个更加优雅的解决方案。 - apelsinapa
4
这不是一个简单的问题。Gamma函数没有一个简单的闭式公式。尽管如此，有一些数值近似可以满足您的需求。
下面的答案将使用一种称为Lanczos近似的技术。公式如下：

enter image description here

其中g是任意选择的常数，控制着逼近的精度。g越大，逼近的精度就越高。Ag(z)的定义如下：

enter image description here

最困难的部分是找到Ag(z)，因为pn也是使用一个依赖于g的复杂公式定义的。

以下代码我不能太拿credit，因为我只是在写维基百科页面上Python程序的移植。

function gamma(n) {  // accurate to about 15 decimal places
  //some magic constants 
  var g = 7, // g represents the precision desired, p is the values of p[i] to plug into Lanczos' formula
      p = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028, 771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];
  if(n < 0.5) {
    return Math.PI / Math.sin(n * Math.PI) / gamma(1 - n);
  }
  else {
    n--;
    var x = p[0];
    for(var i = 1; i < g + 2; i++) {
      x += p[i] / (n + i);
    }
    var t = n + g + 0.5;
    return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (n + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
  }
}

当然，根据伽玛函数的定义：

function factorial(n) {
  return gamma(n + 1);
}

你可以在 jsFiddle 上 查看实际效果。

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为了完善@apelsinapa的答案，修正整数计算（当输入整数时，我们没有得到整数解）。

@apelsinapa的好方法：

var g = 7;
var C = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028,771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];

function gamma(z) {
    if (z < 0.5) return Math.PI / (Math.sin(Math.PI * z) * gamma(1 - z));
    else {
        z -= 1;

        var x = C[0];
        for (var i = 1; i < g + 2; i++)
        x += C[i] / (z + i);

        var t = z + g + 0.5;
        return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (z + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
    }
}

如果要得到一个整数的正确答案：

 function factorialOfNumber(number) {
    if (number % 1 != 0 || number<0){
        return gamma(number + 1);
    }
    else {
        if(number == 0) {
           return 1;
        }
        for(var i = number; --i; ) {
           number *= i;
        }
        return number;
    }
}
0

这是我几年前写的一个版本...有点乱但经过测试 :)

var
    M_GAMMA = [76.18009172947146, -86.50532032941677, 24.01409824083091, -1.231739572450155, 0.1208650973866179e-2, -0.5395239384953e-5],
    M_GAMMAS = 6;

function gammaFn(x) // Modified to JavaScript from "Numerical Recipies in C" by P. Mainwaring
{
    var i = 0, n = ++x, tmp = x + 5.5, ser = 1.000000000190015;
    for (tmp -= (x + 0.5) * Math.log(tmp); i < M_GAMMAS; ++i) ser += M_GAMMA [i] / ++n;
    return Math.log(2.5066282746310005 * ser / x) - tmp;
}

function fact(x) { return x > 1 ? Math.exp(gammaFn(x)) : 1 }

function combin(n, k) { return (Math.exp(gammaFn(n) - gammaFn(n - k) - gammaFn(k)) + 0.5) | 0 } // Ms Excel COMBIN() n! / k!(n - k)!

n = 49; k = 6; alert(fact(n) + ' ' + fact(k) + ' ' + combin(n, k)); // Lottery odds! (13,983,816)

Gamma函数和GammaLn函数如下：

function gammaLn(x) { return gammaFn(--x) }

function gamma(x) { return Math.exp(gammaLn(x)) }

:-)

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如果你只是想要计算实数阶乘的函数，那么你只需要使用Lanczos逼近中的这段代码：

function = factorial(z) {

  var g = 7;
  var C = [0.99999999999980993, 676.5203681218851, -1259.1392167224028, 771.32342877765313, -176.61502916214059, 12.507343278686905, -0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7];
  var x = C[0];

  for (var i = 1; i < g + 2; i++)
  x += C[i] / (z + i);

  var t = z + g + 0.5;
  return Math.sqrt(2 * Math.PI) * Math.pow(t, (z + 0.5)) * Math.exp(-t) * x;
}

对于负数和小数的加法运算都非常有效。

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