如何计算实数的阶乘倒数？

Question

有没有一种方法可以计算实数的阶乘的倒数？

例如 - 1.5 ! = 1.32934039

如果我有值1.32934039，有没有办法获得回1.5？

我正在尝试。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Gamma^(-1)[1.32934039]

但那是失败了。

- Lazer

---

请注意，这在自然数中也不起作用。即Γ函数通常没有反函数。 - Konrad Rudolph

@Konrad Rudolph：没有反函数？我不理解。应该有一些反函数。 - Lazer

@Lazer：如果你考虑http://www.wolframalpha.com/input/?i=gamma(x)，你会发现Gamma函数在\R上不是单射的，即有一些y值可以对应多个x值。但是如果我们限制自己在x>2（比如）的范围内，那就没有问题了。 - Andreas Rejbrand

@Robin Day：mathoverflow.com是面向研究级数学的，而不是高中级别的数学。我认为对于关于数学算法的问题，没有比stackoverflow.com更好的地方了。 - Mike Seymour

@Mike：我不认为关于伽玛函数的问题是“高中水平”… - BlueRaja - Danny Pflughoeft

Answer 1

通过wolframalpha.com，您可以查询以下信息：

Solve[Gamma[x+1]==1.32934039,x]

如评论中所述，伽玛函数没有唯一的逆元。即使在解决传统的阶乘问题时也是如此，例如：

Solve[Gamma[x+1]==6,x]

这个问题有多个答案，其中一个是3。

在WolframAlpha中，你可以使用Factorial[]代替Gamma[]：

Solve[Factorial[x]==6,x]
Solve[Factorial[x]==1.32934039,x]

- brainjam

---

“传统的阶乘”只在自然数{0，1，2，...}上有定义，并且这里唯一的问题是0！= 1！（例如，x！= 6在自然数中只有一个根，即3）。 - Andreas Rejbrand

@Andreas，OP正在询问常规阶乘的一般化形式，即伽玛函数。在Mathematica/WolphramAlpha中，它的实现方式是Gamma[x+1]或Factorial[x]。试试看吧。 - brainjam

当然我知道。我非常熟悉伽玛函数。但是brainjam说“伽玛函数没有唯一的反函数。即使你在解决传统阶乘的问题时，例如Solve[Gamma[x+1]==6,x]，也会得到几个答案，其中一个是3。”这可以被解释为x！= 6在自然数上有几个解，这是错误的。唯一的解是3。也许只是措辞不当。 - Andreas Rejbrand

@Andreas，谢谢你的澄清。很抱歉暗示你不知道伽马，你可能比我更了解它。 - brainjam

@Lazer，不是的，它会默默失败。我认为它是通过数值求解的，而问题中的大数字可能导致它丢失（即无法收敛于解）。2^1024大约相当于170！，这是非常大的。 - brainjam

Answer 2

David Cantrell在此页面上给出了Γ^-1(n)的良好近似值：

k = 二次ψ函数的正零点，约为1.461632
c = Sqrt(2*pi)/e - Γ(k)，约为0.036534
L(x) = ln((x+c)/Sqrt(2*pi))
W(x) = Lambert W函数
ApproxInvGamma(x) = L(x) / W(L(x) / e) + 1/2

- BlueRaja - Danny Pflughoeft

Answer 3

对于整数，您可以执行以下操作：

i = 2
n = someNum
while (n != 1):
    n /= i
    i += 1
return (i==1 ? i : None)

实数的阶乘没有反函数。你说"每个函数都必须有一个反函数"，这是不正确的。考虑常数函数f(x)=0。什么是f^-1(42)？为了成为反函数，它必须同时是单射和满射。

- Yuval Adam

---

应该是 i = 1，除法和自增应该交换，然后你可以直接返回 i。 - Matthew Flaschen

他没有说“每个函数”（但也许他编辑过了？）。但是在[2,∞)上的Γ(x)（不像f(x)=0）是单射的。至少在该子域上应该有一个反函数。 - Ken

A: 谢谢，我理解了相反的概念。我说的是在伽玛函数的情况下 - 因为它似乎是一个单调不降的一对一函数，至少对于正实数来说。 - Lazer

谢谢，伙计。答案中的代码似乎有一些错别字，但我已经在此基础上实现了一个有效的算法。 - midnite