如何使用冲量解决物理碰撞问题？

Question

如何使用冲量解决物理碰撞问题？

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我开始编写一个物理引擎，但在解决碰撞物理时遇到了困难。假设我有这种情况：

即，物体B以每单位时间1个空间单位的速度朝向物体A。A和B的质量都是1个单位。让我们考虑一个完全弹性碰撞。

我在一本书（《游戏物理引擎开发》）中读到可以使用基于冲量的方法来解决碰撞问题（即找出碰撞后两个物体的线性和角速度）。据我所知，它应该像这样工作：

1. 当物体碰撞时，我获取碰撞点和碰撞法线。 2. 在碰撞点处，我只考虑沿法线方向上的两个点碰撞（即物体接触的点，忽略两个物体的形状），并计算这两个碰撞点的新速度（这很容易做到，有一个简单的公式可在Wikipedia上找到）。 3. 找到一个冲量，使其在该点施加于两个物体时，能够实现这两个点的计算速度。

现在问题出现了，当我考虑从物理角度来看，动量和动能都需要被保持不变。有了这些限制，似乎没有解决方案，因为：

当B与A碰撞时，根据弹性碰撞公式，B应该完全停止并将其所有动量和动能转移到A上。为了保持线性动量不变，A随后必须以与碰撞前B相同的速度向左线性移动（因为它们具有相同的质量）。所以现在A拥有与B相同的动能，然而这意味着A不能旋转，因为这会增加额外的动能（旋转也会增加动能以及线性运动），破坏动能守恒。尽管如此，正确的物理解决方案是A同时向左线性移动和旋转，因为在此位置碰撞的B施加扭矩（我还检查过真实物体的行为方式）。请注意，我们不能从A的线性运动中取走一些能量并将其添加到旋转中，因为这会破坏线性动量守恒。

唯一的“真正”解决方案是B不会完全停止，而是保持一些动量，而A将同时向左移动和旋转。但似乎无法使用基于脉冲的方法实现这一点，因为该方法只考虑了两个碰撞点，弹性碰撞公式仅说明B点应该停止，而B不能接收任何扭矩（碰撞发生在其中间），实现这一点的唯一方法是B停止运动。那么我错过了什么吗？基于脉冲的方法是否正确？感谢任何有关如何正确解决碰撞的见解和建议。谢谢！

- Miloslav Číž

据我所知，如果发生这样的碰撞，那么您对于动量和能量守恒是正确的。但是，如果A在碰撞后应该旋转（由于其形状），那么B现在也不应该旋转吗？（系统早期的角动量为零，因此如果A在碰撞后旋转，则B应该以相反方向旋转-角动量守恒）。 - Ankush

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如果你在https://physics.stackexchange.com或者https://gamedev.stackexchange.com上提问，我认为你会得到更好的答案。当然，在这里提问也没有问题，只是我认为那些网站上有更多知道答案的人。 - RBarryYoung

你完全不在正确的网站上。 - user1196549

碰撞后，有三个未知量：A和B的速度以及A的角速度。通过解决由动量守恒、绕质心的角动量守恒和动能守恒（运动+旋转项）形成的系统来找到这些未知量。这个系统将有一个解。 - user1196549

我在想这是否是正确的问题提问地点，既然存在物理学和游戏物理学类别，我就打算试一试，但如果没有答案出现，我会前往其他网站，让我们拭目以待。 - Miloslav Číž

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- btilly · Accepted Answer

你正在查看的公式是用于两个质点的碰撞。点质量不能具有角动量，因此公式中没有这个术语的空间。

你必须回到第一原理。

假设一个边缘在一个点上与另一个物体碰撞（考虑角落撞击边缘）。然后，在该点施加特定的冲量，沿着边缘的法向方向。（任何其他方向都需要摩擦力，这将使其成为非弹性碰撞。）相反的冲量沿着相同的矢量传递给另一个物体。对两个物体施加相反的冲量足以保证动量和角动量守恒。但能量守恒需要一些工作。

接下来，当我们施加动量时会发生什么？正如this物理学答案所说，我们施加动量就好像脉冲发生在质心上一样。我们施加等于脉冲和力臂（描述脉冲偏离质心的向量）的叉积的角动量。这将导致物体以脉冲除以惯性矩的速率开始旋转。

你从质心的运动中得到动能，但也从其旋转中得到动能。

因此，在你的二维碰撞中，你现在有以下事实：

每个物体的质量。
每个物体的速度。
每个速度的惯性矩。
每个物体的角速度。
每个物体的力线的力臂。

你现在可以计算整个系统的动能，作为比冲大小的函数。与质点不同，所有这些因素都会影响它，使方程变得复杂。然而，像质点一样，你将得到一个具有2个解的二次方程。一个解是没有任何冲量传递（表示碰撞前的系统），另一个解是碰撞后的答案。包括对两个系统的动量和角动量的变化。