使用Eigen计算2D相机的模型视图矩阵

Question

我试图计算我的二维相机的模型视图矩阵，但我无法得到正确的公式。 我使用Affine3f变换类，因此矩阵与OpenGL兼容。 这是我通过试错所能得到的最接近的结果。 该代码可以正确旋转和缩放相机，但如果我同时应用平移和旋转，则相机的运动会混乱：相机以旋转的方式移动，这不是我想要的。（这可能是由于我先应用旋转矩阵，然后再进行平移）

Eigen::Affine3f modelview;
modelview.setIdentity();
modelview.translate(Eigen::Vector3f(camera_offset_x, camera_offset_y, 0.0f));
modelview.scale(Eigen::Vector3f(camera_zoom_x, camera_zoom_y, 0.0f));
modelview.rotate(Eigen::AngleAxisf(camera_angle, Eigen::Vector3f::UnitZ()));
modelview.translate(Eigen::Vector3f(camera_x, camera_y, 0.0f));
[loadmatrix_to_gl]

我想实现的是，相机围绕屏幕中心点（在此情况下，(0,0)是屏幕中心）旋转和缩放，并最终被定位在全局xy轴上的世界空间中（初始时，(0,0)也在屏幕中心）。我该如何实现呢？

请注意，我还设置了一个正交投影矩阵，可能会影响这个问题。

- JATothrim

Answer 1

如果您想要使用OpenGL在XY平面上渲染2D图像，并按以下方式操作：（1）围绕点P逆时针旋转a，（2）进行S比例缩放，然后（3）平移，以便在新缩放和旋转的图像中，像素C位于原点处，则可以使用以下转换：

1. 通过-P进行平移（这将把P像素移动到原点）
2. 进行a旋转
3. 通过P进行平移（将原点移回其原来的位置）
4. 按比例缩放S（如果提前执行���操作，则会破坏旋转效果）
5. 通过-C进行平移

如果2D图像正在原点处呈现，则还需要最后通过沿负z轴移动一定值来进行平移，以便能够看到它。

通常，您只需使用OpenGL基础知识（glTranslatef、glScalef、glRotatef等）即可完成此操作。并且您需要按照我列出的相反顺序执行它们。由于您想要使用glLoadMatrix，因此您需要按照我在Eigen中描述的顺序执行操作。重要的是要记住，OpenGL期望一个列主要矩阵（但这似乎是Eigen的默认设置；因此可能不是问题）。

- JCooper

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谢谢，现在看起来效果好多了。然而相机的移动方式并不是我期望的：增加x坐标也会影响y坐标，因此相机沿着旋转后的xy轴移动，而不是未旋转的xy轴。这是我解决问题的第二部分，我想让相机只是围绕点旋转和缩放，然后将相机移动到其位置，使得应用的旋转不会影响这个平移。PS：我将尽可能避免使用固定管线，所以改为GL 3.0 +着色器及更高版本将是无痛的。 - JATothrim

@JATothrim 我看了一下Eigen的规范。它说你正在使用的变换是应用于矩阵的右边。我原本以为它们应该应用在左边。由于它们是应用在右边的，所以你需要按相反的顺序应用它们。或者，你可以使用“prerotate”和“pretranslate”。 - JCooper

非常接近但不完全正确。相机现在围绕点旋转和缩放，如果没有旋转，它的平移是可以的。旋转会破坏平移（或反之亦然），相机不会像我期望的那样“移动”。旋转90度，y轴变成了相机运动中的x轴！我该如何防止这种情况发生？ - JATothrim

我想我终于解决了这个移动问题。错误在于每一帧都重置了模型视图为身份矩阵，即使相对于当前位置移动相机。因此，从模型视图中提取X向量，然后沿着该方向进行平移是无效的！现在感觉好愚蠢。教训是：可以无限地链接变换而不必回到身份矩阵。 - JATothrim

Answer 2

JCooper解释了构建初始矩阵的步骤，做得非常好。

然而，我最终以稍微不同的方式解决了这个问题。当时有一些额外的事情和步骤对我来说并不明显。请参见JCooper答案的评论。首先要意识到所有矩阵操作都是相对的。

因此，如果您想使用绝对xy轴定位或移动相机，则必须首先分解矩阵以提取其具有不变轴的绝对位置。然后，您将矩阵平移与旧位置和新位置之间的差异。

以下是使用Eigen执行此操作的方法：

首先计算Affine2f矩阵cmat标量行列式D。使用Eigen可以通过D = cmat.linear().determinant();完成。接下来，使用D计算当前旋转+缩放矩阵R的“反向”矩阵matrev。matrev = (RS.array() / (1.0f / determ)).matrix());其中RS是cmat.matrix().topLeftCorner(2,2)。然后，绝对相机位置P由P = invmat * -C给出，其中C是cmat.matrix().col(2).head<2>()。

现在我们可以沿着绝对轴重新定位相机，并保持旋转+缩放不变：V = RS *（T-P），其中RS与之前相同，T是新的位置向量，P是分解的位置向量。 然后，cmat只需通过V进行平移以移动相机：cmat.pretranslate(V)。

- JATothrim